démonstration complexes


  • K

    Rebonjour, j'ai un petit soucis dans un exercice:

    On a z′=−1/zˉz'= -1/\bar{z}z=1/zˉ

    j'ai montré que z'+1 = zˉ−1zˉ\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}}zˉzˉ1

    on doit alors en déduire que: ∣z′+1∣=∣z′∣\left|z'+1 \right| = \left|z' \right|z+1=z

    mais je bloque... 😕 si vous pouviez m'aider, merci d'avance


  • K

    excusez moi j'ai modifié plusieurs fois le message car j'avais mal écrit les expressions avec latex :razz:


  • K

    une petite aide?


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Tu n'as aucune autre indication sur z ?


  • K

    Et bien en fait l'énoncé total est:
    on considère un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d'affixe 1, soit B le point d'affixe -1. Soit F l'application de P privé de O (l'origine du repère) dans P qui à tout point M d'affixe z distinct de O associe le point M' = f(M) d'affixe −1zˉ\frac{-1}{\bar{z}}zˉ1

    Après on a répondu à tout un tas de question sur des images de cercles par la transformation de F, tout cela est indépendant de la question qui me bloque.

    A la question en question est écrit:
    On désigne par R un point d'affixe 1+eiθ1+ e^{i \theta }1+eiθ où θ ∈ ]-π;π\pi ; \piπ;π[ .R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.
    a/ montrer que $z'+1 = \frac{\bar{z}-1}{\bar{z}} \$
    en déduire que: ∣z′+1∣=∣z′∣\left|z'+1 \right| = \left|z' \right|z+1=z

    Mais cela n'est pas utile à la question.


  • B

    Mettre l'énoncé complet serait pourtant fort utile...
    car je suppose qu'on parle ici d'un point M d'affixe zzz qui appartien au cercle C3

    Pour le a) il n'y a pas de problème, en utilisant la définition de z′z'z, il suffit d'écrire z′+1=...z'+1=...z+1=...

    on passe ensuite aux modules

    Comme z=1+eiθz=1+e^{i \theta}z=1+eiθ on a z−1=eiθz-1=e^{i \theta}z1=eiθ
    donc zˉ−1=e−iθ\bar{z}-1=e^{-i \theta}zˉ1=eiθ de module ...


  • K

    Je suis navrée d'avoir fait perdre du temps aux membres à cause des imprécisions. Néanmoins dans l'énoncé il est écrit que "à tout point M d'affixe z distinct de O" donc je n'en ai pas conclue que l'on parlait d'un point sur C3 ici...

    le a je l'ai déjà fait en mettant tout sous le même dénominateur on arrive au résultat.
    pour les modules...je croyais qu'il fallait se resservir de cela:
    z′+1=zˉ−1zˉz'+1=\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}}z+1=zˉzˉ1 puisqu'il est écrit en déduire...pourriez vous m'aider en partant de cela? De plus je ne pense pas qu'on puisse dire que z=1+eiθz=1+ e^{i \theta }z=1+eiθ car z est l'affixe d'un point quelconque comme c'est écrit dans l'énoncé. Je ne crois pas que tout ce qui est dit sur C3 nous servent ici mais plutôt à la question suivante que je n'ai pas posé.


  • N
    Modérateurs

    C'est bien z= 1 + eiθe^{iθ}eiθ

    Applique les indications données par Bertoche.


  • K

    Donc,

    Bertoche

    Comme z=1+eiθz=1+e^{i \theta}z=1+eiθ on a z−1=eiθz-1=e^{i \theta}z1=eiθ
    donc zˉ−1=e−iθ\bar{z}-1=e^{-i \theta}zˉ1=eiθ de module ...

    le module est de...je ne vois pas

    il se calcule comme x2+y2\sqrt{x^{2}+y^{2}}x2+y2 mais je ne vois pas comment faire... 😕


  • B

    ah ah le voilà ton problème !!!


  • K

    mais attendez le module c'est 1...car on a 1∗eiθ1*e^{i θ}1eiθ


  • B

    KaioshinDBZ
    mais attendez le module c'est 1...car on a 1∗eiθ1*e^{i θ}1eiθ
    ouf j'ai cru mourir d'attendre à la porte dans ce froid hivernal 🆒


  • K

    Pour finir proprement on a donc:

    $\left|\bar{z} -1\right|=1 \$
    et ∣z′+1∣=∣zˉ−1zˉ∣\left|z'+1 \right|= \left|\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}} \right|z+1=zˉzˉ1

    nous donne: ∣z′+1∣=1zˉ\left|z'+1 \right| = \frac{1}{\bar{z}}z+1=zˉ1

    or ∣1zˉ∣=∣z′∣\left|\frac{1}{\bar{z}} \right|= \left|z' \right|zˉ1=z

    d'où: ∣z′∣=∣z′+1∣\left|z' \right|= \left|z'+1 \right|z=z+1

    soit le résultat qu'on devait démontrer.

    Merci beaucoup pour votre aide. 😄


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