Calcul de la distance d'un point à un plan

bonjour, j'aurais besoin d'aide svp.

Dans un repère orthonormal (0,i,j,k) de l’espace, on considère la sphère S de centre A(2;-3;1) et de rayon 2 et le plan P d’équation 3x-6y+2z=0.
1)Calculer la distance du point A au plan P et en déduire que S et P n’ont pas de points communs.
2) Soit B le point de la sphère S dont la distance au plan P est la plus courte.
Quelle est la distance du point B au plan P ?
3)Déterminer les coordonnées des vecteurs n et n' orthogonaux au plan P et de norme 2.
4)En déduire les coordonnées du point B.

pour la question 1), le vecteur normal du plan P est n(3;-6;2). pour calculer la distance, il faut qu'on ait un point qui appartient au plan?

Bonjour,

La distance d'un point A au plan P est la distance du point A à son projeté orthogonal H sur P.

montrer que la distance entre le point A (centre de la sphère de rayon 2) et le plan P est strictement supérieur à 2 devrait te permettre de conclure la question

j'ai trouvé 26/7 pour la distance

or 26/7=3+5/7 donc 26/7>3
on en déduit que ...

on en déduit que S et P n'ont pas de points en commun

Bonjour,

C'est exact.

bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la question 2 svp.

si la distance du centre de la sphère de rayon 2 au plan P est égale à 26/7
alors ...

26/7-2= 26/7 -14/7=12/7 distance B au plan P =12/7

c'est bien ca?

est ce que la question 2 est correcte? pour la question 3, je dois partir d'un produit scalaire?

sil2b
est ce que la question 2 est correcte? pour la question 3, je dois partir d'un produit scalaire?
P est un plan dont on connait l'équation
aussi tu ne connaitrais pas les coordoonées d'un vecteur u orthogonal à ce plan ?
a t il la bonne norme ? j'espère bien que non !
aussi comment obtenir un vecteur n de norme 2 à partir de u ?
et puis un 2ème ? hein son petit frère, non son opposé

vecteur u(3;-6;2)

sil2b
vecteur u(3;-6;2)
et sa norme ?

Bertoche
sil2b
vecteur u(3;-6;2)
et sa norme ?
je ne sais plus se que c'est la norme d'un vecteur

sil2b
Bertoche
sil2b
vecteur u(3;-6;2)
et sa norme ?
je ne sais plus se que c'est la norme d'un vecteur
comment peut-on perdre autant de temps à chercher des exos sans connaissances préalables ???
c'est comme le plombier qui irait chez un client sans caisse à outils, bon courage à lui pour faire une réparation rapide et efficace !!!
ah oui pas con comme toi il appelle un autre plombier pour aller faire le boulot à sa place...

la norme du vecteur u =racine(3²+(-6)²+2²)=racine(49)=7 .?

Bonjour Sil2b,

Oui.

u $→^\rightarrow$ est un vecteur normal au plan. tous les vecteurs normaux au plan seront colinéaires à u $→^\rightarrow$ .

Il te faut donc trouver les deux vecteurs n $→^\rightarrow$ et n' $→^\rightarrow$ colinéaires à u $→^\rightarrow$ et de norme 2.

Comme l'a dit Bertoche, on aura n' $→^\rightarrow$ = -n $→^\rightarrow$

Il suffit donc de trouver les coordonnées de n $→^\rightarrow$ (x,y,z) telles que:

n $→^\rightarrow$ et u $→^\rightarrow$ soient colinéaires

et

|| n $→^\rightarrow$ || = 2

Iron
Bonjour Sil2b,

Oui.

u $→^\rightarrow$ est un vecteur normal au plan. tous les vecteurs normaux au plan seront colinéaires à u $→^\rightarrow$ .

Il te faut donc trouver les deux vecteurs n $→^\rightarrow$ et n' $→^\rightarrow$ colinéaires à u $→^\rightarrow$ et de norme 2.

Comme l'a dit Bertoche, on aura n' $→^\rightarrow$ = -n $→^\rightarrow$

Il suffit donc de trouver les coordonnées de n $→^\rightarrow$ (x,y,z) telles que:

n $→^\rightarrow$ et u $→^\rightarrow$ soient colinéaires

et

|| n $→^\rightarrow$ || = 2

vecteur u et vecteur n sont colinéaire si u=k*n

Oui, donc en terme de coordonnées, quel système obtiens-tu ?

Et à partir de la norme, quelle égalité peux-tu écrire ?

Iron
Oui, donc en terme de coordonnées, quel système obtiens-tu ?
Et à partir de la norme, quelle égalité peux-tu écrire ?

Un système ???
Si vect(u) a pour norme 7, alors vect(n)=2/7 vect(u) a pour norme 2 !

bonjour Bertoche,

Exact,

On cherche $n$ ^\rightarrow $x_n$ , $y_n$ , $z_n$ ) tel que $n→n^\rightarrow$ = k× $u→u^\rightarrow$

On a donc :

| $x_n$ = 3 k
| $y_n$ = -6 k
| $z_n$ = 2 k

Et || $n→n^\rightarrow$ || = 2

|| $n→n^\rightarrow$ || = k || $u→u^\rightarrow$ || d'où k = 2/7

Ce qui donne

| $x_n$ = 6/7
| $y_n$ = -12/7
| $z_n$ = 4/7

Je ne vois pas le prbl ?

vecteur n(6/7;-12/7;4/7) => vecteur n' (-6/7;12/7;-4/7) ?

Oui

Citation
4)En déduire les coordonnées du point B

B est le point de la sphère S dont la distance au plan P est la plus courte.
Que peux-tu dire du vecteur AB $→^\rightarrow$ ?

Iron
bonjour Bertoche,

Exact,

On cherche $n$ ^\rightarrow $x_n$ , $y_n$ , $z_n$ ) tel que $n→n^\rightarrow$ = k× $u→u^\rightarrow$

On a donc :

| $x_n$ = 3 k
| $y_n$ = -6 k
| $z_n$ = 2 k

Et || $n→n^\rightarrow$ || = 2

|| $n→n^\rightarrow$ || = k || $u→u^\rightarrow$ || d'où k = 2/7

Ce qui donne

| $x_n$ = 6/7
| $y_n$ = -12/7
| $z_n$ = 4/7

Je ne vois pas le prbl ?

Des fois certains ici feraient mieux de se taire...

d'une part || $n→n^\rightarrow$ || =
|k||| $u→u^\rightarrow$ || !!!

d'autre part, le problème est de me dire quelles sont les valeurs des coordonnées xn, yn, zn pour trouver k=2/7 et ensuite d'en déduire les dites mêmes coordonnées xn, yn, zn !!!

la norme du vecteur de AB vaut 2

sil2b
la norme du vecteur de AB vaut 2
on peut dire mieux...

ya un soucis avec se qu'a dit iron? bertoche

c'est le rayon de la sphère

comment faut il faire pour la question 4?

sil2b
comment faut il faire pour la question 4?
Peut-être en réfléchissant et réinvestissant les questions précédentes...

Et en juin au BAC, tu feras comment ???
Je te demande ça parce que tu n'as pas eu la moindre idée pour bien faire depuis le début de cette exercice...

j'ai trouvé par mes propres moyens. B(8/7;-9/7;3/7)

sil2b
j'ai trouvé par mes propres moyens. B(8/7;-9/7;3/7)

Ta réponse est correcte.

Bertoche
Des fois certains ici feraient mieux de se taire...

Bonjour Bertoche,

Il doit être possible de me corriger sans être désobligeant pour autant, non ?

Mais avec les " ah oui pas con . . . " "tu fais exprès de ne pas comprendre ou quoi . . ." "et pourquoi dis-tu merci beaucoup . . . etc " ce n’est jamais qu’une maladresse de plus finalement !

Tout comme tes façons d’interpeler les différents intervenants pour mettre le doigt sur leurs erreurs même bénignes, d’ailleurs.

Infaillible en maths, c’est bien . . . mais ça ne fait pas tout.