DM Suites TS ( récurrence )

[matlogan05]

Bonjour , voici tout d'abord l'énoncé du DM :

Uo=\frac{1}{2} et $un+1=\frac{1}{2}(un+\frac{2}{un}$

on considère f définie sur ]0;+∞[ par $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x})$

1.a) Construire le tableau de variations de f ( j'ai mis : décroissant sur ]0;1[ , croissant sur ]1;+∞[ est-ce bon ?

b) utiliser la courbe C en annexe pour construire les points A0 , A1 , A2 et A3 d'abscisse respectives u0,u1,u2 ( ça c'est fait aussi )

2. a. Démontrer que pour n≥1 , Un≥√2
   b. Démontrer que pour tout reel x ≥ 2 , f(x) ≤ x. En déduire que (Un) est décroissante a partir du rang 1.

c. Prouver que Un converge.

3. On note l la limite. Justifier que l est solution de $x=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x})$. En déduire la valeur de l.

Donc voilà je bloque à partir de la question 2)a , faut-il faire un raisonnement par récurrence ? et également pour la 2.b ? Je pense qu'il faut dire que comme la fonction f est croissante sur ]1;+∞[ et que U1≥√2 alors Un≥√2.

Mais il y a une chose que je comprend pas , c'est que la fonction f est croissante a partir de 1 et là ils disent qu'il faut déduire que Un est décroissante a partir du rang ..
Merci d'avance

[Noemi]

Bonjour,

Question 2, Utilise les résultats de la question 1.
A quoi est égal f(1) ?
Comment varie la fonction si x > 1 ?