Etude de la fonction représentant la fréquence de vibration d'une corde



  • Bonjour ;

    Bonne année 😄

    J'ai un exercice a faire pendant ces vacances , ca fait pas mal de temps que je travaille dessus et je n'y suis toujours pas arrivée(pour quelques questions)

    Voila l'énoncé :

    La fréquence de vibration f (en hertz) d'une corde tendue dépend de sa longueur (en mètres) et de sa tension T (en newton).
    Pour une corde de violon ( de longueur utile 33 cm) , la fréquence émise est donnée par la formule:

    f=50Tf=50\sqrt{T}

    On considère la fonction T50TT\rightarrow 50\sqrt{T} définie sur l'intervalle [0;+[[0;+\infty [.

    a) Afficher à l'écran de la calculatrice la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0;100].

    b) Conjecturer le sens de variation de cette fonction sur [0;+[[0;+\infty [

    c) u et v désignent deux réels positifs tels que: uvu\leq v

    Vérifier que : uv=uvu+v\sqrt{u}-\sqrt{v} = \frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}

    Démontrer alors la conjecture émise au b).

    d) Déterminer la tension de cette corde pour qu'elle donne le la3la_{3} de fréquence 435 Hz , d'abord avec la calculatrice , ensuite par le calcul.

    Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

    Merci d'avance. 😄



  • J'ai déjà fait le d) que je trouvais assez simple.

    Voila ma réponse:

    f=50Tf=50\sqrt{T}

    T=F50\sqrt{T}=\frac{F}{50}

    T=(F50)2T=\left( \frac{F}{50}\right)^{2}

    T=43550=8.7\sqrt{T}=\frac{435}{50}=8.7

    T=(43550)2T=\left( \frac{435}{50}\right)^{2}

    T=75.69

    Est ce que c'est juste ?



  • Bonjour,

    Quelle conjecture as tu indiquée pour le sens de variation ?

    La question d) est à résoudre à l'aide de la calculatrice puis par le calcul.



  • Soit f une fonction définit sur l'intervalle I [0;+[[0;+\infty [

    D'après le graphique sur la calculatrice nous dirons que f est croissante

    (mais je ne sais pas quelle justification je dois mettre)

    Et pour la d) je ne sais pas comment la résoudre à l'aide de la calculatrice mais par le calcul je pense que j'y suis arrivée .



  • On demande juste de conjecturer en utilisant le graphe sur la calculatrice.

    Vérifie ta conjecture à partir de la question c)



  • Mais mon problème est que je n'arrive pas a repondre a la question c). 😕

    Voila ce que je trouvée:

    Montrer que uv=uvu+v\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} revient a montrer que uv=(uv)×(u+v)u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})\times (\sqrt{u}+\sqrt{v})

    or vu que u=(u)2etv=(v)2u=(\sqrt{u})^{2} et v=(\sqrt{v})^{2}

    on peut donc utiliser une identité remarquable c'est a dire :

    u2v2\sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}

    Ensuite il faut comparer u\sqrt{u} et v\sqrt{v}

    autrement dit comparer uvetu2v2\sqrt{u}-\sqrt{v} et \sqrt{u}^{2}-\sqrt{v}^{2}



  • Bonjour,

    En supposant v ≥u> 0
    comparer √u - √v revient à comparer u - v
    donc si u ≤ v alors f(u) .... f(v) et ....



  • Bonjour;

    Je n'ai pas trés bien compri votre explication mais voila ce que je viens de trouver :

    Comme on sait que uvu\leq v ; on sait aussi que uv0u-v\leq 0 (comparer 2 nombres revient a donner le signe de leur différence :
    aba\leq b revient à dire que ab0a-b\leq 0 )

    mais apres je n'y arrive pas.

    Je ne suis pas tres sure de ce que je viens de trouver.

    Pouvez vous me corriger s'il vous plait ? 😄 😄



  • Tu dois démontrer que la fonction est décroissante.
    Cela veut dire que si T1 < T2 alors f(T1) > ou > f(T2) ?



  • alors f(T1)f(T2)f(T1)\geq f(T2) 😕



  • Oui
    Et pour une fonction croissante ?

    Indique la démonstration.



  • Démonstration d'une fonction croissante:

    Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0;+[[0;+\infty [ par f=50Tf= 50\sqrt{T}.

    Nous pouvons voir que la fonction est toujours croissante car une fréquence est toujours positive; elle ne peut pas être négative!

    Est ce que c'est ça que vous me demandiez ?
    et est ce que c'est juste ? 😄



  • Non,

    Si les valeur de f(x) sont toujours positive, cela ne signifie pas que la fonction est croissante.
    Si T1 < T2 alors f(T1) < ou > f(T2) ?



  • alors f(T1)f(T2)f(T1)\leq f(T2)

    Ah oui je n'avais pas pensé a ça ; la courbe peut toujours varier dans la partie positive.
    Donc c'est bien ça je ne vois vraiment pas comment le démontrer. 😕



  • Tu appliques la propriété que l'on vient de rappeler.
    C'est à dire à partir de T1 < T2, compare f(T1) avec f(T2).



  • Bonjour; 😄

    Je n'ai pas trés bien compri ce que vous me demander de faire pour comparer f(T1) et f(T2).

    et pour ce que j'ai trouvé pour la b) est ce que c'est juste?



  • être une fonction croissante n'a rien à voir avec être une fonction positive...
    il te faut revoir la définition d'une fonction croissante



  • euh oui je m'en étais aperçue de ma confusion et donc pour dire que la

    fonction est croissante je dois dire que pour tout x dans un intervalle I varient

    dans le meme sens (si x augmente f(x) augmente aussi et si x diminue f(x)

    diminue aussi )

    est ce que c'est ça ? 😕



  • Oui applique cette propriété.



  • ah je crois avoir trouver:

    Soit f la fonction définie f(x)=50xf(x)=50\sqrt{x}

    Démontrons que f est croissante.

    Soit x et y deux réels quelconques,

    Supposons que xyx\leq y

    Démontrons que f(x)f(y)f(x)\leq f(y)

    xyxy50x50yf(x)f(y)x\leq y \Rightarrow \sqrt{x}\leq \sqrt{y} \Rightarrow 50\sqrt{x}\leq 50\sqrt{y}\Rightarrow f(x)\leq f(y)

    On en déduit que f est croissante sur mathbbRmathbb{R}

    est ce que c'est ça ? 😄



  • Oui en prenant en compte le résultat de la question c) et en notant que x et y sont des réels positifs.



  • ah oui j'avais oublié ces petites informations mais pour la c) je n'y arrive toujours pas (à une certaine étape du raisonnement)

    Mon raisonnement est un peu plus haut.

    Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

    Merci d'avance . 😄



  • on se demande pourquoi l'auteur de l'exercice prend la peine d'écrire à la question c. ... Démontrer alors la conjecture émise au b) si c'est pour ne pas se servir de ce qu'il y a écrit juste avant ?!?



  • mais la question c) c'est :

    c) u et v désignent deus réels tels que :uvu\leq v

    Vérifier que uv=uvu+vu-v=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}

    Démontrer la conjecture émise au b) c'est la suite du c)
    😉



  • pffff en changeant de lettres x et y à la place de u et v
    et en n'utilisant pas √u-√v=...

    sans vouloir te vexer il faudra que tu m'expliques pourquoi tu peux écrire que 0≤x≤y ⇒ √x≤√y ?



  • j'ai pas compri le rapport entre que vous venez d'écrire et mon exo !!

    et je ne sais meme pas de quelle qestion vous parlez !!



  • ciboulette
    j'ai pas compri le rapport entre que vous venez d'écrire et mon exo !!
    et je ne sais meme pas de quelle qestion vous parlez !!

    pourtant ce n'est pas moi qui ait écrit
    0≤x≤y⇒√x≤√y
    pour répondre à la question c. mais toi !!!



  • "pffff en changeant de lettres..."

    on aurait tres bien pu s'en passer de ce Pfff

    en plus il suffit de remplacer les x et y par des u et des v et puis la je répondais a la question b) et Noemi me la deja corrigée elle ma signalée mes erreurs.

    Bref.



  • Est ce que quelqu'un pourrait me corriger la c) s'il vous plait? 😄



  • La question c) consiste à

    1. Vérifier une relation.
    2. Démontrer une conjecture

    Reformule la réponse.


 

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