Dérivées 1eS

Bonjour*** Ajout de Zorro***

Voila je voudrais simplement que vous verifiiez que la mise en equation de ce probleme est juste.

"Une ficelle de longueur 4m est coupée en 2 morceaux. Avec l'un on forme un carré, avec l'autre un cercle.

Exprimez, en fonction de $x$ (le coté du carré en cm) la somme des aires obtenues $a (x)$ "

Premierement l'aire du carré est $x^2$

$perimetre=π×diametreperimetre=\pi \times diametre$

donc $diametre=perimetreπdiametre=\frac{perimetre}{\pi}$

et $rayon=perimetreπ×12rayon=\frac{perimetre}{\pi}\times \frac{1}{2}$ soit $rayon=perimetre2π\ \ rayon=\frac{perimetre}{2\pi}$

Et on sait que $aire=π×r2aire=\pi\times r^2$

Donc l'aire du cercle egal $π×(perimetre2π)\pi\times (\frac{perimetre}{2\pi})$

Et on sait que le perimetre est égal à $400 c m - 4 x$

Donc pour moi la formule finale est :

$f(x)=x2+π×(400−4x2π)2f(x)=x^2+\pi\times (\frac{400-4x}{2\pi})^2$

Merci d'avance*** Ajout de Zorro***

Bonjour,

Tout cela me semble juste.
Pour l'aire du cercle tu peux simplifier par π.

Merci mais pour étudier les variations de la fonction je dois calculer la fonction dérivée et je ne sait par où commencer...

Connais tu la dérivée de x² ?
Puis de u(x)² ?

La dérivée de x² est 2xmais pour u(x) j'ai un triple produit

Commence par simplifier ton expression
(400 - 4x)/(2π) = (200 - 2x)/π
et π[(200-2x)/π]²=

Apres simplification j'ai :

$f(x)=x2+4x2−800x+40000πf(x)=x^2+\frac{4x^2-800x+40000}{\pi}$

Pour la dérivée je peux utiliser

$(uv)′(x)=u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x)v2(x)(\frac{u}{v})'(x)=\frac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$

Sachant que $v^{'} (x) = 0$ car $v(x)=πv(x)=\pi$

Donc j'obtiens :

$f′(x)=(8x−800)ππ2=8x−800πf'(x)=\frac{(8x-800)\pi}{\pi^2}=\frac{8x-800}{\pi}$

Pourquoi utiliser la formule de U/V ?
Réduis au même dénominateur puis ecris f(x) sous la forme 1/π (...)
Ensuite tu calcules la dérivée.

Actuellement ma dérivée est fausse ??

Bonjour,

Bonne remarque, la dérivée indiquée est fausse.

Je dois avoir $f (x)$ sous la forme

$1π(...+...+etc)\frac{1}{\pi}(...+...+etc)$ ??

Vous voulez dire que

$f(x)=x2+4x2−800x+40000πf(x)=x^2+\frac{4x^2-800x+40000}{\pi}$

Si $(uv)′(x)=u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x)v2(x)(\frac{u}{v})'(x)=\frac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$

→ $u(x)=4x^2-800x+40000$
→ $u^{'} (x) = 8 x - 800$
→ $v(x)=πv(x)=\pi$
→ $v^{'} (x) = 0$

J'ai $f′(x)=2x+(8x−800)(π)−(4x2−800x+40000)×0(π)2=2x+(8x−800)(π)π2=2x+8x−800πf'(x)=2x+\frac{(8x-800)(\pi)-(4x^2-800x+40000)\times 0}{(\pi)^2}=2x+\frac{(8x-800)(\pi)}{\pi^2}=2x+\frac{8x-800}{\pi}$

Tout ceci est faux ??

La dérivée est juste mais l'utilisation de U/V n'est pas la méthode le plus simple.

Et comment je détermine les variations sur ]0;100[ avec ma fonction dérivée ?

Commence par résoudre f'(x) = 0, puis étudie les variations de f.

$x2+8x−800π=0x^2+\frac{8x-800}{\pi}=0$

$x2=−8x−800πx^2=-\frac{8x-800}{\pi}$

$x=−8x+800πx=−8xπx+800πx=−8π+800πxx=\frac{-8x+800}{\pi x}=\frac{-8x}{\pi x}+\frac{800}{\pi x}=\frac{-8}{\pi}+\frac{800}{\pi x}$

Tu dois résoudre l'équation :
2x + (8x-800)/π = 0
Réduis au même dénominateur, puis résous numérateur = 0.

Oups pardon j'ai vraiment fais nimporte quoi
Donc j'ai

$2x+8x−800π=02x+\frac{8x-800}{\pi}=0$

$2x+8x−800π=0\frac{2x+8x-800}{\pi}=0$

$10 x - 800 = 0$

$x = 80$

Donc la fonction est décroissant sur ]0;80] puis décroissante sur [80;100[ ?

Faux,

Vérifie la réduction au même dénominateur.

Oh lala

$2x+8x−800π=02x+\frac{8x-800}{\pi}=0$

$2πx+8x−800π=0\frac{2\pi x+8x-800}{\pi}=0$

$2πx+8x−800=02\pi x+8x-800=0$

$2πx+8x=8002\pi x+8x=800$

$2x(π+4)=8002x(\pi +4)=800$

$x(π+4)=400x(\pi +4)=400$

$x=400π+4x=\frac{400}{\pi +4}$

C'est correct ?

C'est juste.

Et donc après ?

DHUODA
Et donc après ?
à toi de nous le dire

Sur ma calculatrice je vois que $f (x)$ est décroissante sur $]0;400π+4[]0;\frac{400}{\pi +4}[$ puis croissante jusqu'à 100

$f(x)=(4+π)x2−800x+40000πf(x)=\frac{(4+\pi)x^2-800x+40000}{\pi}$ ( $f$ est un polynôme de degré 2)

$f′(x)=2(4+π)x−800πf'(x)=\frac{2(4+\pi)x-800}{\pi}$ ( $f^{'}$ est une fonction affine)

étudie le signe de $f^{'} (x)$ pour en déduire les variations de $f$ ...

tu as déjà $f^{'} (x) = 0$ lorsque $x=4004+πx=\frac{400}{4+\pi}$