besoin d'aide pour un exo avec des primitives

bonjour voici mon exo j'ai commencé a le faire mé j'ai besoin daide
voici l'énoncé;

F est une fonction définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et pour tout réel x ,
F'(x)= 1/(1 + x²).
On admet que cette fonction existe et on ne cherchea pas à donner une expression de F(x).

1.G est la fonction définie sur R par : G(x)=F(x)+F(-x)
a. Justifiez que G est dérivable sur R et calculer G'(x) pour tout réel x.
b. Calculez G(0) et déduisez en que F est une fonction impaire.

2.H est la fonction définie sur I=]0;+inf/ [ par : H(x)=F(x)+F(1/x)
a.Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x) pour tout réel x dans I.
b.Démontrer que pour tout x dans I H(x)=2F(1)
c. Déduisez en que la limite de la fonctionF en +inf/ est 2F(1)
d.Qu'en déduisez vous pour la courbe representative de la fonction F?

Je bloque car je comprend pas pourquoi on calcule pas F(x)
jespere que vous pourrez m'aider.merci d'avance

Salut fab'.

Question 1

a)
La fonction t -> F(t) est dérivable sur IR ; donc t -> F(-t) aussi et leur somme l'est également. On a de plus
G'(t) = F'(t) + (-1)foi/F'(-t) avec la dérivation des fonctions composées.
D'où G'(t) = 1/(1 + t²) - 1/(1 + (-t)²) = 0.

b)
On a G(0) = F(0) + F(-0) = 0.
Ce qui précède montre que G est constante.
Donc, pour tout t on a G(t) = 0. Ceci se traduit par
pour tout t app/ IR, F(t) = -F(-t) : la fonction F est donc impaire.

merci beaucoup pour ton aide! c'est bon j'ai réussi a faire la suite

Question 2)

a)
Pout tout t > 0, les fonctions x -> F(t) et t-> F(1/t) sont dérivables.
De plus, on a pour t > 0
H'(t) = F'(t) + (-1/t²)foi/F'(1/t) (dérivation d'une composée)
= 1/(1 + t²) - 1/(t²(1 + (1/t)²))
= 1/(1 + t²) - 1/(t² + 1) = 0.
La fonction H est donc constante sur ]0 ; +inf/[.

b)
On a par exemple, pour tout t > 0
H(t) = H(1) = F(1) + F(1/1) = 2foi/F(1).

c)
La fonction F est dérivable, donc continue et ainsi, on a
lim F(1/x) = F(0) =0 lorsque x -> +inf/.
Ainsi, lim H(x) = 2 F(1) lorsque x -> +inf/ se traduit par
lim (F(x) + F(1/x)) = 2 F(1) lorsque x -> +inf/
c'est-à-dire
lim F(x) + 0 = 2F(1) lorsque x -> +inf/
CQFD.

Ok.
La raison pour laquelle on ne calcule pas directement F est que ce n'est sans doute pas si facile que ça...
@+