besoin d'aide pour un exo avec des primitives



  • bonjour voici mon exo j'ai commencé a le faire mé j'ai besoin daide
    voici l'énoncé;

    F est une fonction définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et pour tout réel x ,
    F'(x)= 1/(1 + x²).
    On admet que cette fonction existe et on ne cherchea pas à donner une expression de F(x).

    1.G est la fonction définie sur R par : G(x)=F(x)+F(-x)
    a. Justifiez que G est dérivable sur R et calculer G'(x) pour tout réel x.
    b. Calculez G(0) et déduisez en que F est une fonction impaire.

    2.H est la fonction définie sur I=]0;+inf/ [ par : H(x)=F(x)+F(1/x)
    a.Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x) pour tout réel x dans I.
    b.Démontrer que pour tout x dans I H(x)=2F(1)
    c. Déduisez en que la limite de la fonctionF en +inf/ est 2F(1)
    d.Qu'en déduisez vous pour la courbe representative de la fonction F?

    Je bloque car je comprend pas pourquoi on calcule pas F(x)
    jespere que vous pourrez m'aider.merci d'avance



  • Salut fab'.

    Question 1

    a)
    La fonction t -> F(t) est dérivable sur IR ; donc t -> F(-t) aussi et leur somme l'est également. On a de plus
    G'(t) = F'(t) + (-1)foi/F'(-t) avec la dérivation des fonctions composées.
    D'où G'(t) = 1/(1 + t²) - 1/(1 + (-t)²) = 0.

    b)
    On a G(0) = F(0) + F(-0) = 0.
    Ce qui précède montre que G est constante.
    Donc, pour tout t on a G(t) = 0. Ceci se traduit par
    pour tout t app/ IR, F(t) = -F(-t) : la fonction F est donc impaire.



  • merci beaucoup pour ton aide! c'est bon j'ai réussi a faire la suite



  • Question 2)

    a)
    Pout tout t > 0, les fonctions x -> F(t) et t-> F(1/t) sont dérivables.
    De plus, on a pour t > 0
    H'(t) = F'(t) + (-1/t²)foi/F'(1/t) (dérivation d'une composée)
    = 1/(1 + t²) - 1/(t²(1 + (1/t)²))
    = 1/(1 + t²) - 1/(t² + 1) = 0.
    La fonction H est donc constante sur ]0 ; +inf/[.

    b)
    On a par exemple, pour tout t > 0
    H(t) = H(1) = F(1) + F(1/1) = 2foi/F(1).

    c)
    La fonction F est dérivable, donc continue et ainsi, on a
    lim F(1/x) = F(0) =0 lorsque x -> +inf/.
    Ainsi, lim H(x) = 2 F(1) lorsque x -> +inf/ se traduit par
    lim (F(x) + F(1/x)) = 2 F(1) lorsque x -> +inf/
    c'est-à-dire
    lim F(x) + 0 = 2F(1) lorsque x -> +inf/
    CQFD.



  • Ok.
    La raison pour laquelle on ne calcule pas directement F est que ce n'est sans doute pas si facile que ça...
    @+


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