Equations différentielles et température de réaction

[Lisandro]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour Vendredi et je bloque dessus. J'ai calculé la dérivée, mais je ne sais pas si je peut la simplifier. Du coup je peine à faire la Partie A.
Pour la partie B, je n'y arrive pas du tout, même sachant que les solutions sont les fonction $f(t)=k\times {\text{e}}^{at}-\frac{b}{a}$

Partie A

La fonction est définie sur l'intervalle {0;+∞} par $f(x)=(20x+10)\times {\text{e}}^{-x/2}$

1. Étudier la limite en 0

J'ai réussi, je trouve 0.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation

Je trouve une dérivée égale à
$\frac{20{\text{e}}^{-x/2}-(20x+10)\left(-\frac{1}{2}\times {\text{e}}^{-x/2}\right)}{{\left({\text{e}}^{-x/2}\right)}^2}$
Je ne sais pas du tout si c'est simplifiable.

3. Établir que l'équation $f(x)=10$ admet une solution unique, donner une valeur décimale à 0,01 près.

J'ai réussi avec le théorème des valeurs intermédiaires.

4. Tracer la courbe représentant la fonction

Je l'ai fait sur calculette.

Partie B

On note y(t) la valeur en degrés de la température d'une réaction chimique à l'instant t, t exprimé en heures. Les valeurs initiales sont t=0 et y(0)=10

On admet que la fonction qui à tout réel t appartenant à {0;+∞} associe y(t), est solution de l'équation différentielle:

$(e):y^{\prime }+y/2=20{\text{e}}^{-t/2}$

1. Vérifier que la fonction f de la partie A est solution de cette équation différentielle.

Je sèche la dessus et sur le reste de l'exo.

2. a. On note g une solution de l'équation (E), définie sur {0;infini}, vérifiant g(0)=10. Démonter que la fonction g-f est solution sur {0;+∞} de l'équation différentielle : $(e^{\prime }):y^{\prime }+y/2=0$

b. Résoudre l'équation différentielle (E')

c. Conclure

3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend t-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute.

Merci de votre aide.

Edit Zauctore : typographie...

[Zauctore]

Salut

en effet ta dérivée est fausse : y'a pas de quotient (sauf si j'ai mal retranscrit ce que tu avais codé).

f(x), c'est le produit de $20x+10$ et de ${\text{e}}^{-x/2}$

utilise $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

ça donne $(15-10x){\text{e}}^{-x/2}$ si je ne m'abuse.

[Lisandro]

Désolé pour la typo.

Merci de votre aide, j'a réussi toute la partie A.
Pour la partie B, question 1 je trouve comme solution de l'équation différentielle
f(t) = $10e^{at}$

Ce n'est pas la fonction étudiée dans la partie A, donc je ne comprend pas, est ce que vous pourriez m'expliquer?

Merci beaucoup

[Noemi]

Bonsoir,

Indique tes calculs pour la partie B.
Il est indiqué de vérifier que la fonction f est solution, donc une vérification est suffisante.

[Lisandro]

Les solutions sont les fonctions vérifiant:
f(t) = $k{e}^{at}$
Et y(0) =10

Donc $k{e}^0$=10,
Comme $e^0$=1,
Alors k=10,

La solution est donc $f(t)=10e^{at}$

[Noemi]

Bonsoir,

A partir de f(x) = $(20x+10)e^{-x/2}$
tu calcules f'(x)
puis f'(x) +f(x)/2

[Lisandro]

D'accord merci