Etudier les variations, les limites et les tangentes d'une fonction exponentielle et donner un tracé



  • bonjour, j'aurais besoin d'un coup de main sur cet exo, merci.

    On se propose d’étudier la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=(x + 1)e1/x1)e^{-1/x}.
    On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j) .

    1 Étude des variations de f

    a)Déterminer la fonction dérivée f.
    b)Étudier le sens de variation de f.
    c)Étudier la limite de f en +∞.

    2 Étude d’une fonction auxiliaire
    φ est la fonction définie sur [0;+∞[ par: φ(u)=1(1+u)eu(u)=1-(1+u)e^{-u} .
    a)Déterminer la dérivée de φ.
    b)Démontrer que pour tout u≥0; 0≤φ'(u)≤u.
    c)Étudier le sens de variation de la fonction u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[ .
    d)En déduire que pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤u²/2 (1).

    3 Étude de f en +∞.

    a)À l’aide de (1), démontrer que pour tout x>0, 0≤x-f(x)≤1/2x.
    b) En déduire que C admet une asymptote Δ en +∞.
    Préciser la position de C par rapport à Δ.

    4 Étude de la tangente TaT_a à C en un point d'abscisse a

    a)Déterminer une équation de TaT_a.
    b)Démontrer que TaT_a coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
    a/(1+a+a²).

    5 Tracé de C

    Traer C, Δ et la tangente à C au point d'abscisse 1/3.

    1. je trouve f'(x)= e1/xe^{-1/x} + (x+1)/x² * e1/xe^{-1/x}

  • Modérateurs

    Bonjour,

    1 b) Factorise la dérivée, puis tu étudies son signe et tu construis le tableau de variation.
    c) e0e^0 = 1, donc lim ....



  • Noemi
    Bonjour,

    1 b) Factorise la dérivée, puis tu étudies son signe et tu construis le tableau de variation.
    c) e0e^0 = 1, donc lim ....

    f'(x)=e1/x(x)=e^{-1/x}[(x²+x+1)/x²]

    soit x²+x+1=0
    Δ=-3 donc f'(x) n'admet aucunes solution sur ]0;+∞[
    f'(x) est croissante sur ]0;+∞[

    tableau de variation:

    x |0 +∞ |
    f' || + |
    f || croissante |



  • 2)a) φ'(u)=ue(-u) ?


  • Modérateurs

    La dérivée est juste.

    Cherche un encadrement de eue^{-u} pour u appartenant à [0;+∞[.



  • Noemi
    La dérivée est juste.

    Cherche un encadrement de eue^{-u} pour u appartenant à [0;+∞[.u≥0 donc -u≤0, eue^{-u}≤u; eue^{-u}≥0
    ueuue^{-u}≥0



  • je sais pas trop comment faire pour encadrer la dérivée.



  • u≥0
    -u≤0
    0≤eue^{-u}≤1

    0≤ueuue^{-u}≤1*u

    c'est ok comme ca?



  • Je n'ai pas vu l'exo juste l'encadrement, tu y es presque :

    u ≥ 0

    -u ≤ 0

    eue^{-u}e0e^0 car la fonction x → exe^x est strict croissante sur mathbbRmathbb{R}

    eue^{-u} ≤ 1

    De plus exe^x > 0 pour tout x réel, donc

    0 < eue^{-u} ≤ 1

    d'où

    0 < ueuue^{-u} ≤ u



  • ok. pour 2)c) j'ai calculé la fonction u mais je ne sais pas trop comment la factoriser pour quelle soit le mieux possible à étudier


  • Modérateurs

    Bonjour,
    Pour la question 2c, utilise le résultat de la question 2b.
    calcule la dérivée et cherche son signe.



  • dérivée de la fonction u: je trouve ueuue^{-u}-u
    donc u(euu(e^{-u}-1) ?


  • Modérateurs

    u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[
    Soit h(u) = φ(u)-(u²/2)
    calcule h'(u)
    puis étudie son signe en utilisant : 0≤φ'(u)≤u.



  • Noemi
    u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[
    Soit h(u) = φ(u)-(u²/2)
    calcule h'(u)
    puis étudie son signe en utilisant : 0≤φ'(u)≤u.

    h'(u)=ueu(u)=ue^{-u}-u
    h'(u)=u(eu(u)=u(e^{-u}-1)

    c'est correcte?


  • Modérateurs

    C'est correct.
    Tu peux l'écrire sous la forme φ'(u) - u
    et comme 0≤φ'(u)≤u.
    .... ≤ φ'(u) - u ≤ .....



  • Noemi
    C'est correct.
    Tu peux l'écrire sous la forme φ'(u) - u
    et comme 0≤φ'(u)≤u.
    .... ≤ φ'(u) - u ≤ .....

    -u≤ φ'(u) - u ≤0 ?


  • Modérateurs

    Oui,

    Tu en déduis donc que la fonction est ...
    Indique ensuite le domaine de variation de la fonction.



  • Noemi
    Oui,

    Tu en déduis donc que la fonction est ...
    Indique ensuite le domaine de variation de la fonction.

    la fonction h(u) est décroissante

    u | 0 +∞ |
    h' | - |
    h | décroissante |


  • Modérateurs

    Oui

    Et la fonction décroit de ...... à ......
    donc φ(u)-(u²/2) ≤ …………



  • Noemi
    Oui

    Et la fonction décroit de ...... à ......
    donc φ(u)-(u²/2) ≤ …………

    la fonction décroit de 0 à -∞

    donc φ(u)-(u²/2) ≤0


  • Modérateurs

    C'est juste.



  • toujours pour 2)d) φ(u)≥0 car φ'(u) ≥0 ?


  • Modérateurs

    Non,

    C'est parce que la fonction décroit de 0 à -∞, donc négative ou nulle que
    φ(u)-(u²/2) ≤ 0



  • 3)a) on peut remplacer x par 1/u ?


  • Modérateurs

    Oui, ou u = 1/x, avec x > 0



  • Noemi
    Oui, ou u = 1/x, avec x > 0

    ok. j'ai trouvé.

    3)b) on calcule directement la limite à partir de f(x) ?


  • Modérateurs

    Tu calcules la limite de x - f(x).



  • Noemi
    Tu calcules la limite de x - f(x).

    xf(x)=x(x+1)e1/xx-f(x)=x-(x+1)e^{-1/x} x→+∞; -(x+1)→-∞; e1/xe^{-1/x}→0
    c'est une forme indéterminé. quelle modification on peut faire?



  • ah, il faut s'aider de 3)a)


  • Modérateurs

    Oui,

    La question est : en déduire, donc.


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