Préparation à l'épreuve d'admission à Sciences Po (mathématiques)

Salut,

Je m'intéresse à la nouvelle épreuve de mathématiques pour l'admission à Sciences Po. (Décidément, point de salut sans les maths !).

Le site de l'école propose deux exemples de sujets possibles, dont celui-ci : http://admissio...math%201.pdf.

Je suis intrigué par le début de la deuxième partie :

Citation

Deuxième partie : résolution d’une équation fonctionnelle

On cherche à déterminer une fonction f continue sur R vérifiant l’équation fonctionnelle (Condition 1) :
Pour tous réels x et y, f(x+y) + x + y = (f(x)+x) (f(y)+y)

I. 1. Montrer que, pour tout réel t, f(t) + t = 0.

I. 2. Montrer que s’il existe un réel $x_0$ tel que $f (x$ _0 $x_0$ = 0, alors pour tout réel x, f(x)+x = 0.
En déduire que f(x)+x est strictement positif.

I. 3. Montrer que f(0)= 1.

Etes-vous d'accord avec moi pour dire qu'il y a une erreur d'énoncé à la question I.1 ?

Je lirai vos réponses mais risque d'être un peu lent à répondre moi-même car je n'ai pas internet chez moi pour l'instant ..

Bonjour,
Pour la I.1 , on peut montrer que pour tout t : f(t)+t ≥ 0
Pour la I.2, il y a contradiction ( du moins en apparence ) entre f(x)+x = 0 et f(x)+x strictement positif.
Il doit peut-être manquer des hypothèses.

De plus, pour la IV. 1. Montrer que pour tout réel x : 1+x ,, $e^x$ , j'avoue être intrigué par les deux virgules ...

L'auteur du sujet se serait-il relu ? combien de fois ?

Bonjour,

Il y a aussi contradiction entre

I. 1. Montrer que, pour tout réel t, f(t) + t = 0. Donc f(0) + 0 = 0. Donc f(0) = 0

or il faut : I. 3. Montrer que f(0)= 1.

Il semblerait que la vraie question soit

I. 1. Montrer que, pour tout réel t, f(t) + t ≥ 0 et non = 0 ....

Bonsoir,

Même remarque que mathtous et Zorro
Erreur d'énoncé à la question I 1, f(t) + t ≥ 0
question I 2, Il manque une hypothèse ou la question est à reformuler.

Salut.

Si on doit montrer dans la 1) que f(t) + t ≥ 0 (erreur d'énoncé), alors la réponse de la 2) utilise une contraposée pour démontrer que f(t) + t ≠ 0 pour tout t (c'est bien marqué "en déduire"), d'où le strictement positif. Ce n'est pas à reformuler d'après moi.

@+

Bonjour,
En admettant l'erreur d'énoncé pour la I.1
S'il existe x0 tel que f(x0)+x0 = 0 alors pour tout x : f(x)+x = 0 : cela est vrai.
Néanmoins, On ne peut pas en déduire que f(x)+x > 0 car l'éventualité f(x)+x = 0
n'est pas exclue. En effet, f(x) = -x répond bien à la condition 1.
Il manque donc bien à mon avis une partie d'énoncé qui pourrait par exemple être :
" On suppose désormais que f(x)+x ≠0 pour tout x ...".

Je préciserai que la propriété I.2 peut s'écrire :
(∃x∈ $mathbb{R}$ , f(x)+x=0) ⇒(∀x∈ $mathbb{R}$ , f(x)+x=0) qui est vraie ( l'indice x0 étant ici inutile ), sa contraposée s'écrit :
(∃x∈ $mathbb{R}$ , f(x)+x≠0) ⇒ (∀x∈ $mathbb{R}$ , f(x)+x≠0) ne permet d'en déduire f(x)+x > 0
ques'il existe effectivement un réel x tel que f(x)+x ≠0, ce qui n'est pas acquis.
Pour ce qui concerne les implications, contraposées, quantificateurs, je vous propose de lire Réflexions sur la logique formelle

Et qu'en est-il de la partie IV.1 :
"Montrer que pour tout réel x : 1+x ,, $e^x$ ",
j'avoue être intrigué par les deux virgules ...

Salut.

Oui, bien entendu que je supposais en parlant de contraposée qu'il faut chercher un x tel que f(x)+x ≠0, cela va de soit. C'est parce que justement l'éventualité f(x)+x = 0 n'est pas exclue que l'on cherche à l'exclure (ou je n'aurais pas compris le but de la question 2 qui est de transformer l'inégalité large en inégalité stricte).

Et supposer "désormais que f(x)+x ≠0 pour tout x" c'est un peu fort, vu que c'est ce que l'on cherche à démontrer. Le fait est que je n'arrive pas non plus (de tête) à trouver de x qui convienne, et donc une hypothèse supplémentaire ne serait pas de refus. Je reste sur ma position sur l'orientation de la question : le fait qu'il manque une indication ne rend pas le sujet incohérent, simplement incomplet. Noemi avait exprimé le fait qu'il "manque une hypothèse ou que la question est à reformuler", j'ai donné mon avis en écrivant que c'était la première solution qui me semblait la bonne en éliminant la reformulation.

Pour la IV. 1. ben un simple inférieur ou égal à la place des deux virgules à mon avis. Je pense que tout le monde ici s'attend à ça en tout cas.

@+

Bonjour,
Citation
Le fait est que je n'arrive pas non plus (de tête) à trouver de x qui convienneIl n'y en a pas puisque la fonction f(x) = -x vérifie la condition 1 donnée.
Et pour cette fonction-là, il n'existe pas de x tel que f(x)+x ≠ 0
C'est pourquoi il me semble qu'il manque une hypothèse dans l'énoncé.
De quelque façon que cette hypothèse soit formulée, elle doit viser à écarter cette situation ( f(x)+x=0 ).
Citation
C'est parce que justement l'éventualité f(x)+x = 0 n'est pas exclue que l'on cherche à l'exclureEn effet, mais la condition 1
seulene suffit pasà l'exclure d'où la nécessité me semble-t-il d'une hypothèse supplémentaire.