Suite, méthode du quotient

Bonsoir une petite aide pour me débloquer merci

Soit $U_n$ ) la suite définie par $U$ _n $n/2^n$ pour n ≥0. Calculer les termes $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ et $U_4$ .

Démontrer par la méthode du quotient que $U_n$ ) est décroissante à partir de n ≤1.

$U$ _1 $1/2^1$ =1/2
$U$ _2 $2/2^2$ =1/2
$U_3$ =3/8
U
4=1/4

Méthode du quotient :

$U$ _{n+1} $U_n$ = $n + 1 / 2$ ^{n+1} $n/2^n$ = $n+1/2^{n+1}$ * $2^n$ /n

Après je suis bloqué, si vous pouvez m'aider merci

Bonsoir,

Simplifie ton expression $2^n$ )
puis utilise le fait que n ≥ 1

Simplifier $2^n$ c'est à dire ?

$2$ ^n $2^{n+1}$ = ....

Pourquoi je simplifie pas mon expression que j'ai trouvé ?

Oui,

Simplifie : n+1/2n+1 * 2n/n = ....
puis montre que le rapport < 1

Justement j'arrive plus à simplifier pour sa je suis venu demander de l'aide

Et $2$ ^n $2^{n+1}$ tu sais simplifier ?

Non

et $2×2×22×2×2×2\frac{2\times 2\times 2}{2\times 2\times 2\times 2}$ ?

Pourquoi tu remplace par des 2

Je te pose ses exemples pour te faire trouver la réponse.
$2^n$ correspond à 2 x 2 ...... x 2, le 2 est écrit n fois

Donc
$2^n$ / $2^{n+1}$ = .....

$2$ ^2 $2^{2+1}$ c'est bon sa ?!

La simplification n'est pas finie.
$2$ ^n $2^{n+1}$ = 1/2

Donc :
n+1/2n+1 * 2n/n = n+1 / (2n)
Reste à montrer que (n+1)/2n > 1 ?

J'ai une question pourquoi tu as voulu me faire chercher la simplification de $2$ ^n $2^{n+1}$

Maintenant je dois encore simplifier (n+1)/(2n)

car :
$n+1/2^{n+1}$ * $2^n$ /n
= (n+1)/ n * $2$ ^n $2^{n+1}$

Si n ≥ 1
Pas simplifier (n+1)/2n mais montrer que (n+1) /(2n) ≤ 1 ?

D'accord

On divise par un nombre plus grand que le numérateur donc la suite va être décroissante

Comme n ≥ 1
n + n ≥ n + 1
2n ≥ n+1
et
(n+1)/ 2n .....

(n+1)/2n <1 donc n+1<2n $U_n$ ) décroissante.

Comme n ≥ 1
n + n ≥ n + 1
2n ≥ n+1
et
(n+1)/ 2n ≤ 1
$U$ _{n+1} $U_n$ ≤ 1
Donc Un ....

$U_n$ > $U_{n+1}$ Donc $U_n$ décroissante.

Oui,
C'est la conclusion.

merci