Barycentre et point de concours des bissectrices.

Bonjour, j'ai quelques problèmes pour résoudre cet exercice :

Soient ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et E un point de [BC] autre que B et C.
E est le pied de la bissectrice de BÂC.

1) Quelle sont la hauteur commune aux triangles ABE et ACE ?

2) On note S et S’ les aires respectives des triangles ABE et ACE.
Montrer que S / S’ = BE / CE
Montrer que E est le barycentre du système de points :
(B ; S') , (C ; S)

3) Si on note H et K les projetés orthogonaux de E respectivement sur [AB] et [AC], que peut on dire de EH et EK ?

4) En calculant S et S’ d’une autre façon, en déduire que E est le barycentre de (B ; AC) , (C ; AB).

5) Montrer alors que le barycentre du système de points :
{(A ; BC), (B ; AC), (C ; AB)}
est le point de concours des bissectrices du triangle ABC.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

a) As tu fait un schéma ?
Quel point est commun aux deux triangles ?

J'ai des difficultés pour les 3 dernières questions

Question
d) (EH) correspond à quoi pour le triangle EBA ?

e) Exprime les aires puis le barycentre.

d) (EH) est la hauteur du triangle EBA

e) Les aires qui sont notées S et S' ?

d) De plus, on a (EH) qui est la hauteur de ABE et (EK) la hauteur de ACE; Par conséquent d'après la propriété sur les bissectrices, EH = EK

Devons nous citer la propriété ?

Pourquoi EH = EK ?

Ce n'est pas correcte ?

Non, C'est un cas particulier.

Que devons-nous faire alors ?

Tu calcules les aires S et S' des triangles.

Nous avons S = (BE x AL) / 2

et S' = (EC x AL) / 2

AL étant la hauteur commune aux triangles ABE et ACE partant de A .

Tu dois utiliser EH et EK.

On a S qui est l'aire de ABE,

Donc Aire ABE = [ (AE x EH) / 2 ] + [ (BE x EH) / 2 ]

Soit [ ((AE x EH) + (BE x EH)) / 2 ]

Et nous avons S' qui est l'aire de ACE

Donc Aire ACE = [ (AE x EK) / 2 ] + [ (EC x EK) / 2 ]

Soit [ ((AE x EK) + (EC x EK)) / 2 ]

est-ce correcte ?

Donc grâce aux formules citées précédemment, nous avons introduit EH et EK .

Les formules sont correctes, mais tu dois utiliser les mesures des côtés AB et AC pour le calcul des aires.

Mais nous n'avons pas les mesures de AB et AC ?

Peut être grâce à la trigo ?

On ne demande pas une valeur pour les aires. C'est l'expression en fonction de AB et AC, EH et EK.

Mais nous ne pouvons pas en même temps utiliser AB et AC ainsi que EH et EK pour exprimer les aires ?!

Oui
Calcule S et S'

Et ben, comme je l'ai dit tout à l'heure, nous aurions :
S = (BE x AL) / 2
Et S' = (EC x AL) / 2

Tu me redonnes les réponses de la question b).
Pour la question e) il est écrit en calculant S et S' d'une autre façon !!!
Donc écris S en utilisant AB et S' en utilisant AC.

S = (AB x EH) / 2

S' = (AC xEK) / 2

oui,

Montre que E est le barycentre ....

On a S=(AB x HE) /2 et S'=(AC x EK) /2
On a donc S / S' = AB / AC = BE / CE
Par conséquent AB x CE = AC x BE (produit en croix)

On aurait alors AB x CE + AC x BE = 0

Donc E est le barycentre du système (B ; AC) (C ; AB)

en gras = vecteur

Mais est ce suffisant comme justification pour dire que E est le barycentre de (B ; AC), (C ; AB) ?

Quelle indication te permet de dire que EH = EK ?
(AE) est la bissectrice de l'angle BAC ?

Oui effectivement, E est le pied de la bissectrice de l'angle BAC.

Donc ton raisonnement est juste.

D'accord, Merci. Néanmoins la réponse est elle assez justifiée ?

Oui

A mon avis c'est suffisant.

Merci beaucoup.

Et pour la question N°5, quel raisonnement devons nous suivre ?

Pour la question 5, tu appliques le même raisonnement avec le point de concours des bissectrices.

On va utiliser ici le théorème d'associativité du Barycentre :

E bary ( B ; S' ), ( C ; S )
E bary ( B ; AC ), ( C ; AB )
Donc E bary ( A ; BC ), ( B ; AC ), ( C ; AB ) ( par associativité )
Donc E est le point de concours des bissectrices du triangle ABC.

Mais je trouve que cette rédaction n'est pas très "belle" .. Néanmoins, est-ce correct ?

Il faut utiliser le point de concours des bissectrices qui n'est pas le point E. Et indiquer la relation pour les trois bissectrices.