Etudier une fonction Ln

J'ai cet exercice à faire mes je bloque, j'airai besoin de votre:

On considère la fonction f définie par:
f(x)=ln((1-x)/(1+x)).
On note ℘ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j).

Justifier que l'ensemble de définition Df de la fonction f est symétrique par rapport a 0.
Calculer, pour tout x∈ Df, f(x)+f(-x). Quelle est la conséquence graphique de ce résultat?
Justifier que la courbe ℘ admet deux asymptote verticales, dont on donnera une équation.
Déterminer f'(x)
Déterminer une équation de la tangente ℑ $_0$ au point O, puis préciser la position relative des deux courbes.
Tracer ℘ et ses asymptotes et ℑ $_0$ .

j'ai reussi à faire:

je ne sais pas comment faire!
2)f(x)+f(-x)=0 cela veut dire que la fonction est impaire.
je n'ai pas reussi
4)f'(x)=-2/(1-x²)
5)f est croissante sur ]-∞;-1[∪]1;+∞[ et décroissante sur ]-1;1[
équation de la tangente: y=-2x

merci d'avance

Bonjour,
Question 1 :
Commence par déterminer Df : ce qui se trouve sous le logarithme doit être positif strictement ( tableau de signes ).

Df=]-∞;-1[∪]1;+∞[

Non : prends par exemple x=2 : quel est le signe de (1-2)/(1+2) ?
Peut-on prendre son logarithme ?

non!
je n'ai pas pris son logarithme!!
1-x>0 ⇔1>x
1+x>0 ⇔ x<-1

Il ne s'agit pas seulement des signes de 1+x et de 1-x, mais du signe de leur
quotient.
Fais un tableau de signes.

x: -∞ -1 1 +∞

1+x: + - -

1-x: - - +

quotient: - + -

Le quotient (1+x)/(1-x) est donc positif strictement si x ∈ ]-1 ; +1[ qui est Df.

Question 2 : f est impaire, oui. Mais on te demande ce que cela implique pour la représentation graphique C de f.

pour la 1) il faut juste donner Df?
pou la 2) je ne sais pas du tout ce qu'il faut dire!!
merci

Pour la 1, tu dois donner Df.
Mais tu dois ensuite répondre à la question posée: O est le milieu de l'intervalle ]-1 ; +1[ , le point O est le centre de symétrie de cet intervalle.

Pour la 2 : que peux-tu dire de la représentation graphique d'une fonction impaire ?

℘ est symétrique par rapport à l'origine O.

Oui.

La question 4 est juste.
Pour la question 5, tu dois reprendre car ton premier Df était faux.

f est décroissante
la question 3)?
mercii

f est décroissante sur ]-1 ; +1[ ( elle n'est pas définie ailleurs ).

Pour la question 3, tu sais que f n'est pas définie pour 1 ni pour -1.
Cherche la limite de f(x) quand x tend vers 1 , puis quand x tend vers -1.

je n'arrive pas à calculer les limites!!
je trouve 2/0

Quand x tend vers 1 ou quand x tend vers -1 ?
Précise ...
2/0 est une "forme indéterminée" : il ne s'agit
surtout pasde donner à x la valeur 1 ni -1, mais de raisonner par étapes simples:
par exemple quand x tend vers +1 :

il ne peut le faire que par valeurs inférieures car il doit rester dans ]-1 ; +1[
donc 1-x est positif et tend vers ??
donc le quotient (1-x)/(1+x) tend vers ??
que sais-tu de ln(u) quand u tend vers 0 ( tout en restant positif ) ?

1-x tend vers 0+ et le quotient tend vers 0+
u tend vers 0+ donc ln(u) tend -∞

Quand x tend vers + 1, f(x) tend vers -∞, oui.
Et lorsque x tend vers -1 ?

quand x tend vers -1 f(x) tend vers +∞?

Oui, le plus simple ici est d'utiliser le fait que f est impaire.

Le fait que les limites soient infinies prouve qu'il y a des asymptotes verticales.
Pense au tableau et à la représentation graphique.

okok merciii
est-ce que l'équation de la tangente est juste?

Oui.
Mais n'oublie pas de donner les équations des asymptotes verticales.

Pour la question 6, tu dois préciser la position de (C) par rapport à T0 ( dessus ou dessous ).

pour cela il faut étudier le signe de la différence: f(x)-(-2x)

Oui, tu peux poser g(x) cette différence : pour étudier son signe, tu peux chercher ses variations.

okok mercii beaucoup pour votre aide

De rien
A+

J'ai un petit problème: pour la position relative, la différence elle est définie sur ℜ??

merci d'avance

Bonsoir,

La différence f(x) - x est définie sur Df.

donc la courbe est au dessus de la tangente sur ]0;1[ et en dessous sur [-1;0[
merci de me corriger

Non,

C'est l'inverse.

g est la différence: je trouve que g est décroissante sur ]-1;0[ et croissante sur ]0;-[
c'est juste?

jenny1211
g est la différence: je trouve que g est décroissante sur ]-1;0[ et croissante sur ]0;1[
c'est juste?

Oui pour le sens de variation. Mais tu dois chercher le signe
Or sur l'intervalle ]-1;0] g(x) ≥0, donc g au dessus de la tangente.
Sur l'intervalle [0; 1[ g(x) ....

moi je n'ai pas ça: j'ai g(x)≥0 sur ]0;1[ et ≤ sur ]-1;0[

Indique tes calculs que je vois ou est l'erreur.
Vérifie à l'aide de la calculatrice.

-2x²>0 quand x>0 ]-1;0[≤0 et sur ]0;1[≥0
-1-x² c'est du signe de a à l'extérieur des racines donc ]-1;1[≥0

jenny1211
-2x²>0 quand x>0 ]-1;0[≤0 et sur ]0;1[≥0
-1-x² c'est du signe de a à l'extérieur des racines donc ]-1;1[≥0

-2x² < 0 pour tout x différent de 0
-1-x² est du signe de a à l'extérieur des racines : oui mais x² = -1 n'a pas de racine réelle

Tu dois étudier le signe de f(x) + 2x ????

moi jai calculer la dérivé de la différence

Tu as trouvé quoi pour la dérivée ?

-2x²/-1-x²

Je trouve :
-2x²/(1-x²)

Indique tes calculs.