Etude d'une fonction avec logarithme népérien

[vanE$$a]

Bonsoir j'ai cet exercice à faire mais je n'y arrive pas, merci de m'aider.

f est la fonction définie par:
f(x)=x²+ln(1+(1/x))
℘ est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j).

1. On considère la fonction polynome p définie pour tout réel x par: p(x)=2x³+2x²-1.
   a) Montrer que l'équation p(x)=0 admet une unique solution réelle ∂ appartenant à l'intervalle [0;1].
   b) Justifier que ∂ vérifie ∂²=1/(2(∂+1))
   c) En déduire l'encadrement 1/4≤∂²≤1/2
   d) Puis en déduire un encadrement de ∂
   e) A l'aide de la calculatrice, donner une approximation de ∂ a $10^{-2}$.
   f) Donner, en fonction de x, le signe de p(x) sur ℜ.

2. Déterminer le signe de (x+1)/x sur ℜ, puis en déduire Df de la fonction f.

3. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de Df.

4. Calculer f'(x), puis l'exprimer en fonction de p(x).

5. Déduire de la question 1), le signe de f'(x) sur Df.

6. Justifier que: 1+(1/∂)=1/(2∂³).
   En déduire que f'(∂)=∂²-ln2-3ln∂.
   7)A l'aide de l'encadrement de ∂, monter que pour tout x>0 on a : f(x)≥(1+2ln2)/4
   8)Dresser le tableau complet des variations de la fonction f.

7. Etudier la position relative des variations de ℘ avec la parabole p d'équation y=x².

8. Expliquer pourquoi le tracé de p facilite celui de ℘.

9. Tracer p et ℘

j'ai reussi à faire la 1a)

merci d'avance

[mathtous]

Bonjour,
∂ vérifie 2∂${}^3$ + 2∂² = 1
Continue

[vanE$$a]

2∂³+2∂²=1 ⇔∂²(2∂+2)=1⇔∂²=1/(2∂+2)⇔∂²=1/2(∂+1)

[mathtous]

Oui, à condition de préciser que ∂≠-1( il est compris entre 0 et 1).
En utilisant cette égalité et le fait que ∂ est compris entre 0 et 1 , tu dois aboutir à l'encadrement souhaité de ∂².
Puis de ∂.

[vanE$$a]

0≤∂≤1
⇔1≤∂+1≤2
⇔2≤2(∂+1)≤4
⇔1/4≤1/2(∂+1)≤1/2
⇔1/4≤∂²≤1/2
d)1/2≤∂≤1/√2
e) je n'ai pas trouvé
je bloque à la question f)
merci d'avance

[mathtous]

∂ est donc compris entre 0.5 ( 1/2) et 0.71 (≈1/√2)
Pour affiner l'encadrement, calcule p(0.5),p(0.6) : ce n'est pas la valeur trouvée qui compte, mais son signe.

[vanE$$a]

p(0.5)=-0.25
p(0.6)=0.152
donc -0.25≤∂≤0.152

[mathtous]

Non : le raisonnement est faux :
-0.25 < p(∂) < 0.152, c'est-à-dire : p(0.5) < p(∂) < p(0.6)
donc 0.5 < ∂ < 0.6 car p est croissante sur [0 ; 1]
ceci est un encadrement à $10^{-1}$ près
Mais on te demande l'encadrement à $10^{-2}$, il faut donc tester les signes de
p(0.51),p(0.52) ,...
Pour gagner du temps, calcule p(0.56) et p(0.57)

[vanE$$a]

ok mercii
pour la question f), je ne sais vraiment pas comment faire
merci d'avance

[mathtous]

Tu dois avoir fait un tableau de variations pour la fonction p, sinon, comment as-tu répondu à la question 1a) ?
Si tu ne l'as pas encore fait, étudie les variations de p.

[vanE$$a]

p'(x)=6x²+4x
p est croissante sur ]-∞;-4[∪]0;+∞[ et décroissante sur ]-4;0[.

[mathtous]

Non : factorise p'(x) afin de déterminer correctement son signe.

[vanE$$a]

p'(x)=x(x+4)
x(x+4)=0 ⇔ x=0 x=-4

[mathtous]

Non!
Tu as p'(x) = 6x² + 4x qui n'est pas égal à x(x+4) : que fais-tu du 6 ?

[vanE$$a]

ouii c'est vrai:
x=0 6x=-4⇔x=-4/6=-2/3

[mathtous]

Attention à la présentation :
p'(x) = 0 ⇔ x = 0
oux = -2/3
Alors tu peux donner les variations de p, puis en déduire son signe.

[vanE$$a]

p est croissante sur ]-∞;-2/3[∪]0;+∞[ et décroissante sur ]-2/3;0[.

[mathtous]

Oui, et on a vu que p s'annule en ∂ compris entre 0 et 1.
Précise maintenant le
signede p(x)
Tu vas avoir besoin du signe de p(-2/3) et du signe de p(0).

[vanE$$a]

p est négative sur ]-∞;-2/3[∪]-2/3;0[ et positive sur ]0;+∞[ car p(-2/3)=-0.7 et p(0)=-1

[mathtous]

Non:
Pour commencer, inutile de séparer les deux premiers intervalles :
]-∞;-2/3[∪]-2/3;0[∪{-2/3} = ]-∞ ; 0[ ( -2/3 n'a aucune raison d'être exclu ).
Ensuite, p(-2/3) nettement différent de -0.7 : tu confonds -2/3 et p(-2/3)
Encore : tu ne tiens pas compte de ∂ qui annule p
Enfin, p(x) n'est probablement pas positif sur [0 ; +∞[ car p(0) = -1.
Fais un tableau de variations où tu placeras en première ligne les valeurs : -2/3 , 0 , ∂ , 1
En dernière ligne , place en dessous les valeurs correspondantes de p.
Et tu n'auras plus qu'à regarder les signes ( de p(x) ).

[vanE$$a]

x : -2/3 0 ∂ 1
2x³+2x²-1: - - + +

[mathtous]

Non: sur ta réponse il manque un intervalle, donc on ne sait pas trop à quoi les signes correspondent.
Sur ]-∞;-2/3], p est croissante, et p(x) est négatif ( car p(-2/3) l'est )
Sur [-2/3; 0] , p est décroissante et p(x) reste évidemment négatif.
Sur [0 ; +∞[, p est croissante mais s'annule en ∂
Donc on doit décomposer ce dernier intervalle en deux :
sur [0 ; ∂] , p(x) est négatif ( ou nul )
sur [∂ ; +∞[, p(x) est positif ( ou nul).
En résumé :
sur ]-∞ ; ∂[ , p(x) est strictement négatif
Pour x = ∂, p(x) = 0
Sur ]∂ ; +∞[ , p(x) est strictement positif.

[vanE$$a]

ah okok merciii
mais comment on fait pour donner le signe de p(x) en fonction de x?

[mathtous]

Ben je t'ai donné la réponse :
Citation
sur ]-∞ ; ∂[ , p(x) est strictement négatif
Pour x = ∂, p(x) = 0
Sur ]∂ ; +∞[ , p(x) est strictement positif.La justification vient du tableau de variations que tu dois donc fournir dans ton devoir.

[vanE$$a]

okok mercii
pour la question 2) j'ai trouvé Df=]-∞;-1[∪]0;+∞[
est-ce que c'est juste?

[mathtous]

C'est juste.

[vanE$$a]

okok mercii
pour les limites:
limf(x)=+∞
x>-∞

limf(x)=+∞
x>+∞

limf(x)=+∞
x>0+

limf(x)=0
x>0-

et j'ai pas reussi pour la limite quand x tend vers -1

[mathtous]

Rebonjour,
les trois premières limites sont justes.
Mais la quatrième n'a pas lieu d'être : si x → $0^{-}$, x n'appartient pas à Df !

Procède par étapes successives :
Quand x → $-1^{-}$ :
x+1 → 0 , mais avec quel signe ?
Quelle est la limite de (x+1)/x ?
Quelle est la limte de son logarithme ?
enfin quelle est la limite de f(x)?

[vanE$$a]

limx+1=0+ quand x tend vers $-1^{-}$
limx+1/x=0+ quand x⇒$-1^{-}$
limln=+∞ quand x⇒$0^{-}$
donc lim de f(x)=+∞

lim x+1=0+ quand x⇒$-1^{+}$
limx+1/x=0+ quand x⇒$-1^{+}$
limln=+∞ quand x⇒$0^{+}$
donc lim de f(x)=+∞

[mathtous]

Citation
Mais la quatrième n'a pas lieu d'être : si x → $0^{-}$, x n'appartient pas à Df !Et c'est la même chose si x → $-1^{+}$

La limite lorsque x → $-1^{-}$ est fausse : plusieurs erreurs.
Lorsque x → $-1^{-}$ :
x+1 → 0 mais est
négatif
x est négatif ( il tend vers -1 )
donc (x+1)/x est positif et tend vers 0
donc son logarithme tend vers ?? ( limite du logarithme en $0^{+}$ )

[vanE$$a]

+∞
j'ai reussi à faire tous le reste sauf la question 7), est-ce que vous pouvez m'aider?
merci beaucoup

[mathtous]

Oui, on va voir la 7, mais pour le moment ta réponse est fausse : c'est du cours : lorsque u tend vers $0^{+}$, ln(u) tend vers ??

[vanE$$a]

oui c'est -∞

[mathtous]

OK
Pour la 7 , commence par vérifier que pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ f(∂).
Pour cela, je pense utile de répondre d'abord à la question 8.

[vanE$$a]

j'ai déjà répondu la question 8):
f décroissante sur ]-∞:-1[, croissante sur ]-1;0[, décroissante sur ]0;∂[ et croissante sur ]∂;+∞[

[mathtous]

Citation
croissante sur ]-1;0[Impossible ! f n'est pas définie sur cet intervalle.
Citation
pour la question 2) j'ai trouvé Df=]-∞;-1[∪]0;+∞[
Regarde maintenant ton tableau sur ]0 ; +∞[ : On voit que f(x) ≥ f(∂) sur cet intervalle.
Pour démontrer ton égalité, il suffit donc de démontrer que
f(∂) ≥ (1 + 2ln 2)/4

[vanE$$a]

ah okok mercii
1/4≤∂²≤1/2
⇔1/4-ln2≤∂²-ln2≤1/2-ln2
⇔1/4-ln2-3ln∂≤∂²-ln2-3ln∂≤1/2-ln2-3ln∂
⇔(1-4ln2-12ln∂)/4≤f(∂)≤1/2-ln2-3ln∂

je ne trouve pas le résultat demandé :frowning2:

[mathtous]

C'est à cause du ln ∂ : en utilisant ∂ ≤ 1/√2, tu peux en déduire une inégalité sur ln ∂ que tu injectera ensuite dans l'inégalité trouvée.

[vanE$$a]

oui j'ai trouvé:
ln∂≤ln(1/√2)=-ln√2=-1/2ln2
en remplaçant:(1-4ln2-12ln∂)/4=(1-4ln2+6ln2)/4=(1+2ln)/4

[mathtous]

Oui, et seule l'inégalité de gauche est utile ici.