Etude d'une suite géométrique, convergence, limite et somme

Bonjour, J'ai un Exercice à faire mais je ne vois pas trop comment faire..

on considere la suite (Un) donnée par récurrence

U0= -3
Un+1 = (- 1/3)Un + 2 pour tout n appartenant a IN

calculer U1 U2 U3 U4
On pose Vn= Un-3/2
a) Démontrer que la suite (Vn) est géometrique
b) Exprimer Vn en fonction de n
c) Retrouver alors les valeurs trouvée dans la question 1)
Démontrer que (Un) est convergente et déterminer sa limite
Exprimer S= U1+ U2+ U3+...+Un En fonction de n
vérifier pour n=5

J'ai tout fait mais je n'arrive pas a faire la 4/ je ne la comprend pas..pouvez vous m'aider ?
Merci

U1= 3
U2=1
U3= 5/3
U4= 13/9
a)
Vn+1= Un+1-3/2 Donc elle est géométrique de raison q= -1/3
Vo= -9/2

b) Vn= -9/2(-1/3) puissance n

c) Un= -9/2 (-1/3) puissance n + 3/2

d) Je retrouve les memes valeurs

Converge vers 0 sa limite et 3/2
je ne sais pas... J n'y arrive pas S= V0+ V1+V2+...+Vn= V0 fois (1-(-1/3)puissance n+1) / (1-(-1/3) = (-27/8) (1-(-1/3) puissance n+1) ? ?

Bonjour,

$V_n$ = $U_n$ - 3/2 donc $U_n$ = $V_n$ + 3/2

Donc $U_1$ = $V_1$ + 3/2

et $U_2$ = $V_2$ + 3/2

etc ....

Donc S = $V_1$ + 3/2) + $V_2$ + 3/2) + ... + $V_n$ + 3/2)

S = $V_1$ + $V_2$ + ...... + $V_n$ + (un certain nombre fois de 3/2)

Tu vois comment continuer ?

hum et bien non pas vraiment

Tu comprends que S = $V_1$ + $V_2$ + ...... + $V_n$ + (un certain nombre fois de 3/2) ?

Donc S = la somme des premiers termes d'une suite géométrique + (un certain nombre fois de 3/2)

S= n fois 3/2

?

S = $V_1$ + $V_2$ + ...... + $V_n$ + (un certain nombre fois de 3/2)

le (un certain nombre fois de 3/2) est bien égal à n * 3/2

donc S = $V_1$ + $V_2$ + ...... + $V_n$ + n * 3/2

et que vaut $V_1$ + $V_2$ + ...... + $V_n$ ?

$V_1$ * $1-(1/3)^n$ ) / (1-(-1/3)) ?

Bonsoir,

Il manque un - devant 1/3?
Tu as calculé la somme des termes de la suite $V_n$ .

oui désolé j'ai oublié le -
Donct en fait je n'ai plus qu'a additionner :
V1* $1-(-1/3)^n$ ) / (1-(-1/3)) +n * 3/2 ?

Oui

Remplace $V_1$ par sa valeur et simplifie l'expression.

Hum mais voici le probleme comment je calcule V1 ?

V1= $q^n$ V0
V1= (-1/3 $^1$ * -9/2 ?

$V_n$ = $U_n$ - 3/2
$V_1$ =

Vn= Un - 3/2
V1 = U1 -3/2
V1= 3- 3/2
=3/2 ?

C'est juste.

d'accord merci

donc j'ai trouvé Sn

Mais par contre je comprend pas pourquoi il dit de verifier pour n=5 ? je dois remplacé tout les n de Sn par 5 ? et ça fait quoi ?

donc en simplifiant:

V1* (1-(-1/3)n) / (1-(-1/3))
3/2 * 4/3 (1-(-1/3) puissance n
2 ( 1+1/3 puissance n )
2 + 1/3 puissance n

puis cela fait
2+1/3 puissance n + 3/2 n

Tu remplaces n par 5 dans ta formule et tu calcules S.
Puis tu vérifies en calculant la somme des termes à partir des résultats obtenus à la question 1).

dans ma formule initiale ? Un= -9/2 (-1/3) puissance n + 3/2 donc avec 5 ça me donnne 41/27

Je calcule S ? C'est a dire de U1 a Un ?

La somme des termes c'est a dire S donc ce que j'ai ecrit au dessus

kaylee2
donc en simplifiant:

V1* (1-(-1/3)n) / (1-(-1/3))
3/2 * 4/3 (1-(-1/3) puissance n
2 ( 1+1/3 puissance n )
2 + 1/3 puissance n

puis cela fait
2+1/3 puissance n + 3/2 n

Vérifie ton calcul.
Cette expression est fausse.

V1= 3/2 je le multiplie par 4/3 fois (1-(-1/3)n)

donc ça fait 2 ( 1+1/3 puissance n ) ?

et - s fait + là dedans je peux remplasser par + nan ?

kaylee2
V1= 3/2 je le multiplie par 4/3 fois (1-(-1/3)n)

donc ça fait 2 ( 1+1/3 puissance n ) ?

Non
C'est 3/2 * 3/4 (1- $1/3)^n$ )
= ....
( 1 - $1/3)^n$ ) n'est pas égal à 1 + $1/3)^n$

2(1- (-1/3)n) ? car 3/2*3/4= 2

2(1- (-1/3)n) + 3/2n
voila ce que fait Sn non ?

kaylee2
2(1- (-1/3)n) + 3/2n
voila ce que fait Sn non ?

Non

3/2 * 3/4 = 9/8

pardon je voulais dire 3/2* 4/3

c qui fait 2(1- (-1/3)n) + 3/2n

merci pour Sn pour le 5) verifier n=5 je le ferai demain car je n'ai plus l'esprit très clair donc j'ai vraiment du mal à comprendre ce que vous m'expliquer.. merci

Tu calcules $U_1$ + $U_2$ + ..... $U_5$
à partir des résultats :
U1= 3
U2=1
U3= 5/3
U4= 13/9

Donc U5= $9/2(-1/3)^5$ +3/2 = 41/27

Donc S= $3(1-(-1/3)^5$ ) / (4/3)= 61/27

Donc après je remplace n par 5 dans Sn

ce qui fait :
$2(1-(-1/3)^5$ ) + (3/2) $×\times$ 5 = 4621/486

mais c'est étrange parce que je ne trouves pas les même résulat pour la 5) donc je dois mettre trompé dans la 4) avec Sn ?

Vérifie tes calculs.

hum
et bah pour la 4) cela doit faire

3/2 * 1-(-1/3) $^n$ $/$ 4/3 ça me fait 2 * $1-(-1/3)^n$

Donc Sn= 3/2 * 1-(-1/3) $^n$ $/$ 4/3 ça me fait 2 * $1-(-1/3)^n$ + (3/2) * n

Pour la 5)
U5= 41/27 J'ai verifié..

Sn= U1+U2+U3+U4+U5= 3+1+ (5/3) +(13/9) + (41/27) = 233/27 ?

L'erreur :
3/2 * $1-(-1/3)^{ n}$ ) / 4/3 =
9/8 $1-(-1/3)^n$ )

aah d'accord donc le 4/3 je l'inverse ^^ j'avais oublié de faire cela

mais lorsque je fais cela et que je remplace n par 5 cela me donne 61/54

mais L'aure j'ai trouvée 233/27 ..

?

Tu as oublié les 3/2 n.

9/8 (1-(-1/3)n) + 3/2 n aaaaaaaah oui sa me donne 233/27.!! Haha je suis heureuse =DD

erreur d inattention!! je divisais par 2 le 9! Hehe ^^ Merciiii