Etude de la nature, croissance, convergence et limites d'une suite

bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de main sur cet exo. merci

soient (Un) et (Vn) les suites définies par : Un+1=(Un+Vn)/2; Vn+1=(Un+2Vn)/3;
Uo=-3 et Vo=7.

on considère la suite (Wn) défine par : Wn=Vn-Un. Montrer que (Wn) est géométrique. Déterminer sa raison et sa limite quand n tend vers +∞. Comparer les suites (Un) et (Vn).

2)a) Montrer que (Un) est croissante.
b) Montrer que (Vn) est décroissante.
c) En déduire que (Un) et (Vn) convergent vers une meme limite que l'on note L.

On considère la suite (Tn) définie par : Tn=2Un+3Vn.
a)Montrer que (Tn) est constante.
b)En déduire la valeur de L.

on a Un+1 et Vn+1 mais que valent Un et Vn ? je n'ai jamais compris grand chose sur les suites

Bonsoir,

Exprime $W_{n+1}$ en fonction de $W_n$ .

Noemi
Bonsoir,

Exprime $W_{n+1}$ en fonction de $W_n$ .

1)Wn+1 = 1/6(Wn)

W(n+1)/(Wn)=1/6(Wn)/(Wn)=1/6 donc (Wn) est géométrique ?

Comment trouves tu : Wn+1 = 1/6(Wn) ?

Noemi
Comment trouves tu : Wn+1 = 1/6(Wn) ?

Wn+1=Vn+1-(Un+1)
on remplace, on met au meme dénominateur et on trouve ce résultat

Oui,

Donc à partir de ce résultat, tu précises que la suite est géométrique.
Tu indiques la raison et le premier terme.

Noemi
Oui,

Donc à partir de ce résultat, tu précises que la suite est géométrique.
Tu indiques la raison et le premier terme.

W(n+1)/(Wn)=1/6(Wn)/(Wn)=1/6 donc (Wn) est géométrique

raison= 1/6 et Wo=10/6=5/3 ?

Erreur pour $W_0$
$W_0$ = $V_0$ - $U_0$

Noemi
Erreur pour $W_0$
$W_0$ = $V_0$ - $U_0$

Wo=10

Oui,

C'est juste.

Noemi
Oui,

C'est juste.

comment je dois faire pour la limite

bonjour,

pour la limite de Wn, je dois partir de 1/6Wn et remplacer Wn?

Exprime $W_n$ en fonction de n puis calcule sa limite.

Noemi
Exprime $W_n$ en fonction de n puis calcule sa limite.
je dois d'abord essayer d'exprimer Un+1 et Vn+1 en fonction de n ?

Non,

$W_n$ est une suite géométrique donc exprime le terme de rang n , $w_n$ en fonction de n. C'est une relation du cours.

Noemi
Non,

$W_n$ est une suite géométrique donc exprime le terme de rang n , $w_n$ en fonction de n. C'est une relation du cours.

(Wn)= Wo x $1/6)^n$ ? et Wo = 10

Oui,

Donc si n tend vers +∞ , $W_n$ tend vers .....

Noemi
Oui,

Donc si n tend vers +∞ , $W_n$ tend vers .....

comme -1<1/6<1 $1/6)^n$ tend vers 0 donc lim de Wn=0 quand x tend vers +∞

Oui, la limite est 0.

Noemi
Oui, la limite est 0.

pour comparer les suites (Un) et (Vn), je dois trouver leur forme exprimée en fonction de n ?

A quoi est égal Vn - Un ?
pour comparer, tu dois montrer que Vn > Un

Noemi
A quoi est égal Vn - Un ?
pour comparer, tu dois montrer que Vn > Un

Vn >Un car Vn-Un= 10 * $1/6)^n$ donc >0

Pas très rigoureuse cette démonstration

" Vn >Un car Vn-Un= 10 * (1/6)n donc >0"

Vn-Un= 10 * $1/6)^n$ et 10 * $1/6)^n$ > 0
donc ...

donc je reprend,

W(n+1)=V(n+1)-U(n+1)
=(Un+2Vn)/3-[(Un-Vn)/2]
=1/6 x Wn

W(n+1)/Wn= 1/6Wn/Wn=1/6 donc Wn est une suite géométrique de raison 1/6.

=> W0=10 donc Wn=W0 x $1/6)^n$

lim de Wn=0 quand n tend vers +infini.

Vn-Un= 10 * (1/6)n et 10 * (1/6)n > 0 donc Vn>Un

c'est ok pour la question 1 ?

C'est correct.

2)a) pour montrer que Un est croissante, il faut faire Un+1-Un ?

Oui, c'est un bon départ. Qu'obtiens-tu ?

je ne sais pas ce que vaut (Un)

Quand tu essaies de faire $U_{n+1}$ - $U_n$ , tu obtiens

$U_{n+1}$ - $U_n$ = $V_n$ - $U_n$ ) / 2

Et $V_n$ - $U_n$ , ça doit te rappeler quelque chose.

j-gadget
Quand tu essaies de faire $U_{n+1}$ - $U_n$ , tu obtiens

$U_{n+1}$ - $U_n$ = $V_n$ - $U_n$ ) / 2

Et $V_n$ - $U_n$ , ça doit te rappeler quelque chose.

Un+1 - Un = 1/2(Wn). 1/2 positif donc (Un) est croissante ?

Oui,
précise que $W_n$ > 0

2)b) je trouves Vn+1 - Vn =-1/3(Wn), donc je conclues que Vn est décroissante.

Oui
$V_{n+1}$ - $V_n$ <0 donc suite décroissante.

c) Un et Vn ont la meme limite que Wn . ?

Non

$W_n$ tend vers 0
et comme
$W_n$ = $V_n$ - $U_n$
alors ....

Noemi
Non

$W_n$ tend vers 0
et comme
$W_n$ = $V_n$ - $U_n$
alors ....
j'arrive pas à trouver les limites de Un et Vn

Wn tend vers 0
et comme
Wn = Vn - Un
alors lim Vn-Un tend vers 0
Comme (Un) est croissante et (Vn) décroissante, alors (Un) et (Vn) converge vers une même limite.

Noemi
Wn tend vers 0
et comme
Wn = Vn - Un
alors lim Vn-Un tend vers 0
Comme (Un) est croissante et (Vn) décroissante, alors (Un) et (Vn) converge vers une même limite.

lorsqu'on dit qu'une suite converge, c'est vers un nombre et qu'elle diverge c'est vers un infini ?

Oui

C'est cela.

Noemi
Wn tend vers 0
et comme
Wn = Vn - Un
alors lim Vn-Un tend vers 0
Comme (Un) est croissante et (Vn) décroissante, alors (Un) et (Vn) converge vers une même limite.cela suffit pour la question 2)c) ? ce que tu as écrit