Fonction exponentielle : équation différentielle

Voici l'énoncé :

On considère l'équation différentielle (E) : y'+y= $e^{-x}$

Démontrer que $u(x)=xe^{-x}$ est solution de (E) ( simple et déjà fait )
Résoudre l'équation différentielle $E_0$ )=y'+y=0
3 Démontrer qu'une fonction v, est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de $E_0$ )
En déduire toutes les solutions de (E)
5.Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Voilà je bloque un peu à la question 2 , mais surtout à partir de la question 3
Merci pour votre aide

Bonjour, (cela se dit encore en 2010 à moins que cela soit ringard !)

Tu n'as pas vu en cours les solutions d'une équation du genre y' = ay ...

Zorro
Bonjour, (cela se dit encore en 2010 à moins que cela soit ringard !)

Tu n'as pas vu en cours les solutions d'une équation du genre y' = ay ...

Bonjour, ( le ringard est tendance à ce que je vois .. dsl )

Alors j'ai réussi à faire la 2 et la 3
Pour la 2 j'ai mis :

Les solutions de l'équations sont les fonctions x→ C $xe^{-x}$ ( avec C reel )
C'est ça ?

Et pour la 3 , j'ai réussi en faisant :

(v'+v)-(u'+u)=0
(v'-u')+(v-u)=0
(v-u)'+(v-u)=0

Mais je voudrais bien de l'aide pour la 4 et la 5 merci ( cela se dit encore et oui ! )

Bonjour,

Revois la question 3;

Pour la question 4, tu utilises les résultats des questions précédentes.
pour la question 5, tu détermines la valeur de la constante.

Noemi
Bonjour,

Revois la question 3;

Pour la question 4, tu utilises les résultats des questions précédentes.
pour la question 5, tu détermines la valeur de la constante.

Bonsoir , alors pour la 5 je trouve :

f2(x) = $2e^{-x}$

mais pour la 4 je ne comprend en fait ( il faut juste redire que les solutions sont f(x)= $Ce^{-x}$ avec C reel ? )

Et enfin , juste une chose , pour la 2 , j'ai mis $Ce^{-x}$ est cela ?
merci

Bonsoir,

Non, pour la 4, ce sont les solutions de E qu'on demande, et elles sont différentes de celles de $E_0$ . Utilise la question précédente.

Pour la 2, oui, c'est la bonne forme.

Pour répondre à la question 5., il faut utiliser le résultat de la question 4.

Pour la question 2, c'est bien C $e^{-x}$
donc pour 4
v(x)- u(x) = C $e^{-x}$
et v = ....

Donc pour la 4 , les solutions sont les fonctions définies sur R par
u(x) = $e^{-x}$ et v(x)= $Ce^{-x}$ + $xe^{-x}$ ? Comment peut on simplifier cela :s ?

Et donc j'ai faux à la 5 il faut que je remplace le x par 0 pour trouver C c'est ça qu'il faut faire ? $f_2$ (0)=2)

v(x)= $Ce^{-x}$ + $xe^{-x}$ est la réponse à la question 4.

Calcule La constante C à partir de f(0) = 2

Oui donc , je trouve C=2
et donc f2(x)= $2e^{-x}$ non ?
Merci en tout cas

Et pour la 4 , les solutions sont donc les fonction u(x) et v(x) ?

Pour la question 4, la solution est :
f(x)= $Ce^{-x}$ + $xe^{-x}$

Pour la question 5 c'est
f(x)= $2e^{-x}$ + $xe^{-x}$

Noemi
Pour la question 4, la solution est :
f(x)= $Ce^{-x}$ + $xe^{-x}$

Pour la question 5 c'est
f(x)= $2e^{-x}$ + $xe^{-x}$

Ah oui j'ai oublié d'ajouter le reste , en tout cas merci j'ai reussi à mieux comprendre ce DM grace à vous.
Bonne soirée

Bonne soirée.