Polynôme de degré 3 et fonctions dérivées

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire pour la semaine prochaine.
Je l'ai commencé mais je bloque, disons que je "m'embrouille" un peu... Je trouve, puis finalement c'est faux et ainsi desuite..

Je vous propose l'énoncé de cet exercice suivi de mes réponses:

**Soit : f(x) = ax^3 + bx² + cx + d, et sa courbe Cf dans un repère orthogonal.
Données :

¤ Cf coupe l'axe des ordonnées en B (0;20). Ce point est un sommet de la courbe.
¤ Cf passe par le point A (-1;18) et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est 3.

1] A l'aide des informations de l'énoncé, déterminer les coefficients a, b, c et d de la fonction f.
2] Etudier les variations de f sur R puis construire le tableau de variations correspondant.**

*Mes réponses *:

Dites moi si je peux faire ceci :
On dérive f(x)=ax^3 + bx² + cx + d . On a alors f'(x) : 3ax² + bx + c.
On remarque que l'on a un polynome du 2nd degrès. Or la courbe d'un polynome du 2nd degrès est une parabole.
On sait que le sommet d'une parabole est S ( -b/2a ; - delta/ 4a)
Et on a comme sommet : B(0;20).
Mais ensuite je m'enmèle les pinceaux... :rolling_eyes:

Pourriez-vous m'aider ? Merci beaucoup..

Bonjour,

Oh lala , tu confonds la courbe qui représente la fonction f et celle qui représente f'.

Avec comme info : Cf coupe l'axe des ordonnées en B (0;20). Ce point est un sommet de la courbe, tu peux en conclure que :

f(0) = 20
et
f'(0) = 0 ... car en B , il y a un "sommet" , cela veut dire qu'en 0 la fonction passe de croissante à décroissante ou de décroissante à croissante
donc f'(x) passe de positif à négatif ou le contraire en passant par la valeur 0.

Avec l'info : " Cf passe par le point A (-1;18) et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est 3.

Que peux tu dire de f(-1) et f '(-1) ?

On résout :
f(-1) =ax^3 + bx² + cx + d
f(-1) = a × (-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d
f(-1) = -1a + b - c + d

et
f'(-1) = 3ax² + bx + c
f'(-1) = 3 × a × (-1)² + b×(-1) + c
f'(-1) = 3a - b + c

?

Oncalcule f(-1) et f'(1)

Et on dit que f(-1) = ... et que f '(-1) = ...

Donc on résout ..... = ... et ... = .....

Il faudrait apprendre la différence entre résoudre et calculer !

Résoudre c'est chercher des nombres , calculer c'est autre chose !

Mais pour trouver f(-1) et f'(-1) il faut remplacer les valeurs dans f(x) et f'(x) ... ?

Oui donc tu calcules f(-1) et f '(-1) en remplaçant x par -1 dans les expressions de f(x) et f '(x)

Mais, si tu faisais un exercice à la fois ! Car tu vas vite te mélanger les pinceaux entre les 2 exos ?

Titboudchou15
On cherche :
f(-1) =ax^3 + bx² + cx + d
f(-1) = a × (-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d
f(-1) = -1a + b - c + d

et
f'(-1) = 3ax² + bx + c
f'(-1) = 3 × a × (-1)² + b×(-1) + c
f'(-1) = 3a - b + c

?

C'est ce que j'avais fait mais comme je n'ai pas les coefficients, je ne peux pas aller plus loin...

Oui, je se serait bien en effet de finir l'autre exercice puis celui là ensuite.

f(-1) doit être égal à ... (première équation)

f'(-1) doit être égale à ... (deuxième équation)

f(0) = 20 ..... (troisième équation)

f'(0) = 0 ..... (quatrième équation)

Tu as 4 inconnues a , b , c et d et tu as 4 équations (comme le monde des maths est bien fait !)

Donc tu devrais, demain , après une bonne nuit , trouver a , b , c et d.

Est-ce que la dérivée de ax^3 + bx² + cx + d est bien :

f'(x) : 3ax² + bx + c ?

On a :

f(-1) = -1a + b - c + d
f'(-1) = f'(-1) = 3a - b + c
f(0) = 20
f'(0) = 0

On doit résoudre un système pour trouver les coefficients a, b, c, et d ?

f '(x) est fausse ! Donc la suite aussi !

f(x) = ax^3 + bx² + cx + d
donc :

f'(x) = a × 3x² + b×2x² + c
f'(x) = 3ax² + 2bx + c ?

Zorro
Que peux tu dire de f(-1) et f '(-1) ?

Comme Cg passe par le point A (-1; 18), je peux dire que :

f(-1) = 18 et que f'(-1) = -1 ?

f'(x) = 3ax² + 2bx + c enfin juste !

Comme $Cf^$ passe par le point A (-1; 18), tu peux dire que :

f(-1) = 18 et c'est tout !!!!

qu'elle info permet de connaitre f '(-1) ?

Est-ce que c'est l'info avec le coefficient directeur de la tangente ??

Comment dois-je procéder pour trouver les coefficients a, b, c et d ? :rolling_eyes:

Bonsoir,

Tu utilises les écritures des équations d'inconnues a, b, c et d correspondant à :
f(0) = 20
f'(0) = 0
f(-1) = 18
f'(-1) = 3

Indications déjà données par Zorro.

C'est à dire que je dois remplacer dans f(x) et f'(x) 20, 0, 18 et 3 ?

Chaque expression te donnera une équation
pour f(0) = 20, tu remplaces x par 0 dans f(x) ....

Pour f(0) = 20, on a :
f(0) = a×0³ + b×0² + c×0 + d

Pour f'(0) = 0, on a :
f'(0) = 3×a×0² + 2×b×0 + c

Pour f(-1) = 18, on a :
f(-1) = a×-1³ + b×-1² + c×-1 + d

Pour f'(-1) = 3, on a :
f'(-1) = 3×a×-1² + 2×b×-1 + c

Oui,

Simplifie chaque expression, écris le système puis tu le résous.

Je simplifie ... :

Pour f(0) = 20, on a :
f(0) = a×0³ + b×0² + c×0 + d
= 0 + 0 + 0 + d
=20 donc d vaut 20

Pour f'(0) = 0, on a :
f'(0) = 3×a×0² + 2×b×0 + c
= 0 + 0 + c
= 0
donc c vaut 0

Pour f(-1) = 18, on a :
f(-1) = a×-1³ + b×-1² + c×-1 + d
= -a +b -c + d
= -a +b - 0 + 20
= -a +b + 20

Pour f'(-1) = 3, on a :
f'(-1) = 3×a×-1² + 2×b×-1 + c
= 3a² -2b + c
= 3a² -2b + 0
= 3a² -2b

Deux erreurs :

Pour f(-1) = 18, on a :
f(-1) = a×(-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d
= -a + b -c + d
= ....

Pour f'(-1) = 3, on a :
f'(-1) = 3×a×(-1)² + 2×b×(-1) + c
= 3a² -2b + c
= ...

Les deux premières résolutions sont justes, mais pour les deux dernières, il ne doit pas y avoir de x, puisque tu l'as remplacé par -1.

Attention, de même, au fautes de signe.

A oui j'ai fait des fautes avec les "x³" j'ai recopié le x meme si je l'avais remplacé... Je fais souvent des fautes de signes malgrès moi .. :rolling_eyes:
J'ai donc rectifié mes erreures et je vais faire un système avec les équations suivantes :

Pour f(-1) = 18
= -a +b + 20

Pour f'(-1) = 3
= 3a² -2b

sachant que c vaut 0 et d vaut 20.

Et si tu écrivais les équations que tu dois résoudre ? Une seule fois, rien que pour qu'on voit que tu comprends ce que tu fais et que tu ne joues pas au devinettes !

J'ai compris ce que j'ai fait jusqu'a présent mais je n'arrive pas à résoudre le système. Je ne sais pas quelle expression utiliser :rolling_eyes:

Je sais que je dois utiliser :
f(-1) = 18
= -a +b + 20

et f'(-1) = 3
= 3a² -2b

mais meme si j'ai déja c et d, cela ne me sert pas dans ces 2 équations

Il y a une erreur dans la deuxième équation, ce n'est pas $a^2$ mais a.

Tu as les deux (magnifiques) équations :
18 = -a + b +20
3 = 3a - 2b

C'est un système de deux équations à deux inconnues, pas besoin de c et d pour trouver a et b.

Il y a 4 inconnues , il faut 4 équations ....

Pour faire ta démonstration , il faut que tu écrives les 4 équations , avant de résoudre le système .....

f(-1) = 18 ⇒ (une expression avec des a des b des c et des d) = 18
f '(-1) = -3 ⇒ (une expression avec des a des b des c et des d) = -3

etc ....

Ah d'accord ! Ah oui je croyais en avoir besoin mais non, c'est vrai. Merci j-gadget .

Je les résout puis je poste le résultat dès que j'ai fini !

Merci Zorro.

f(-1) = 18 ⇒ -a +b -c +d = 18
soit ⇒ -a+b +20 = 18

f '(-1) = 3 ⇒ 3a -2b +c = 3
soit ⇒ 3a -2b = 3

En résolvant le système : -a + b + 20
3a -2b = 3

Je trouve que b=3 et a = -1.
J'ai vérifié en remplacant a et b dans une autre équation
(par ex: f(-1) = -a + b + 20, et je trouve bien 18) donc en théorie mes résultats sont justes.

Pour savoir si c'est juste, remplace les valeurs trouvées dans les équations, et là, ça ne marche pas...

Je trouve la même valeur que toi pour a, mais pas pour b. Attention aux erreurs de signe.

Que vaut f(-1) avec des des a des b des c et des d ?
donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ?

Que vaut f '(-1) avec des des a des b des c et des d ?
donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ?

Que vaut f(0) avec des des a des b des c et des d ?
donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ?

Que vaut f '(0) avec des des a des b des c et des d ?
donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ?

J'ai fait ça : (je ne voit aps mon erreur pourtant )

-a + b + 20 = 18.........-a+b = 18-20...........-a+b = -2.......b = a-2
3a -2b =3.......................3a -2b = 3.............3a -2b =3......3a-2(a-2)=3

b = a-2............b=a-2.........b=a-2..........b=a-2........b = -1-2........b=-3
3a-2a+4= 3.....a +4=3........a=3-4..........a =-1..........a=-1..........a=-1

Et si tu nous évitais de chercher où tu a mis

f(-1)
f '(-1)
f(0)
f '(0)

en nous disant

pour f(-1) je trouve ..... donc ...... = ....

pour f '(-1) je trouve ..... donc ...... = ....

pour f(0) je trouve ..... donc ...... = ....

pour f '(0) je trouve ..... donc ...... = ....

En remplaçant dans toutes les équations, je trouve tous les bons résultats soient :

f(-1) = -(-1) + (-3) + 20
donc f(-1) = 18.

f'(-1) = 3×(-1) - 2×(-3)
f'(-1) = 3

f(0) = (-1)×0³ + (-3)×0² + 0×0 + 20
f(0) = 20

f'(0) = 3×(-1)×0² + 2×(-3)×0 + 0
f'(0) = 0 !

Donc a = -1 , b = -3 , c =0 et d =20

oh ! ***** (excuse ce gros mot mais je ne sais pas dire autrement mon étonnement ! )

Il n'y a plus de a ni de b ni de c ni de d .... alors comment tu fais pour touver a , b , c et d ... tu es magicien ! et tu vas les sortir de ton chapeau ?

Je t'ai demandé des expressions avec des a des b des c et des d ...

Tu comprends ou tu comprends rien ?

Ah le forum est bien contrôlé ... il ne m'a pas laissé écrire le vilain mot que je voulais écrire ...

Mais quand même , tu es en 1ère S , il faut se secouer un peu et réfléchir !

En 1ère ES, on admettrait des erreurs, mais là , il faut réagir très vite avant de couler dans le grand bain !

Mais c'est ce que j'ai fait ! Mais j'ai remplacé les a, b, c et d par les coefficients que j'ai trouvé, pour vérifier si je trouvais les bons résultats......... :frowning2:

Non, je ne comprends plus :frowning2: