Médianes d'un triangle.
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ZZaza dernière édition par
Bonjour !
Voilà, j'ai un exercice dans mon devoir maison que je n'arrive pas à faire. Pouvez vous m'aider ?Il s'agit de démontrer que les médianes d'un triangle sont concourantes: on fera la figure.
ABC est un triangle. A' et B' sont les milieux respectifs de [BC] et [AC]. G est l'intersection de (AA') et (BB').1/ G1 et G2 sont définis par les vecteurs: GC + GB = $GG_{1
GA + GC = GG2GG_2GG2
Démontrer que AG2G1B est un parallélogramme de centre G.2/ En déduire: _ A'A = 3.AG ( ce sont des vecteurs )
_ les médianes sont concourantes.3/ Calculer les vecteurs GC + GB + GA
J'ai fait la figure, par contre je suis bloqué à la première question.
Merci d'avance !
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Bonjour,
Il faut que tu démontres que les diagonales du quadrilatère AGAGAG_2G1G_1G1B se coupent en leur milieu.
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ZZaza dernière édition par
Je ne vois pas comment je peux le faire, je n'ai pas assez d'informations...
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Exprime GG1GG_1GG1 en fonction de GA' et GG2GG_2GG2 en fonction de GB'.
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ZZaza dernière édition par
GG1GG_1GG1 = GA' + A'G1G_1G1
GG2GG_2GG2 = GB' + B'G2G_2G2
Comme cela ?
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En utilisant les relations :
GC + GB = GG1
GA + GC = GG2
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ZZaza dernière édition par
GG1GG_1GG1 = GC + GB
= GA'GG2GG_2GG2 = GA + GC
= GB'
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Non
Indique tes calculs.
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ZZaza dernière édition par
Je ne sais pas comment faire. Car je n'ai pas de données.
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Utilise la relation de Chasles.
Utilise le point A' avec GC et Gb.
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ZZaza dernière édition par
GG1GG_1GG1 = GC + GB
= GA' + A'C + GA' + A'BGG2 = GA + GC
= GB' + B'A + GB' +B'CJe ne voit pas ce que cela fait. et à quoi ça me sert car je ne peux pas aller plus loin.
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Zaza
GG_1$ = GC + GB
= GA' + A'C + GA' + A'BGG2 = GA + GC
= GB' + B'A + GB' +B'CJe ne vois pas ce que cela fait. et à quoi ça me sert car je ne peux pas aller plus loin.
Que peut-on dire de A'C + A'B
et B'A + B'C ?
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ZZaza dernière édition par
que c'est 1/2.CB et 1/2.AC ?
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Non
A' est le milieu de BC, donc A'B + A'C = 0
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ZZaza dernière édition par
Ah oui d'accord !
Mais ça me fais GG1GG_1GG1 = 2.GA' et GG2GG_2GG2 = 2.GB'
ça me dit pas que AGAGAG_2G1G_1G1B est un parallélogramme de centre G.
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Non,
Ce n'est pas suffisant.
Une méthode plus rapide.
A partir de GC + GB = GG1, montre que vect BG1 = GC
puis avec
GA + GC = GG2, montre que vect AG2 = vect GC
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ZZaza dernière édition par
GC + GB = GB + BG1BG_1BG1
GC = BG1BG_1BG1GA + GC = GA + AG2AG_2AG2
GC = AG2AG_2AG2Donc, GC = BG1BG_1BG1 = AG2AG_2AG2
Donc, AGAGAG_2G1G_1G1B est un parallélogramme mais ça me dit pas qu'il est de centre G. =S
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Oui,
Quel est le point de concours des diagonales du parallélogramme ?
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ZZaza dernière édition par
Le point G.
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ZZaza dernière édition par
Pour la question 2, je fais A'A = A'G + GA ?
Mais comment je fais pour trouver 3.A'G ?
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Tu utilises vect GG1 = 2 vect GA' et comme vect GG1 = vect AG
alors ....
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ZZaza dernière édition par
Je ne vois pas ce comment tu fais, car cela me fait
AA' = A'G + GA
= A'G - AG
= A'G - GG1
= A'G - 2.GA'
Donc,
je ne trouve pas 3.A'G
mais -GA'
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Tu utilises vect GG1 = 2 vect GA' et comme vect GG1 = vect AG
alors
AG = 2 GA'
AG = 2 GA + 2 AA'
Soit
3 AG = 2 AA'
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ZZaza dernière édition par
Là, je dois bien faire encore des calculs pour trouver 3.A'G = A'A ou je ne peux pas aller plus loin ?
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La question est :
3AG = 2AA' ??
ou
3A'G = AA' ???
dans ce cas, tu écris A'G + GA = A'G + G1G
Soit A'A = A'G + 2 A'G
= ...
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ZZaza dernière édition par
la question est 3A'G = AA'
Mais comment fais tu pour trouver +G1+G_1+G1G à droite alors que ce n'est pas AG mais GA. On ne devrait pas trouver
−G1-G_1−G1G ?
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G est le milieu de G1A, soit G1G = GA.
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ZZaza dernière édition par
Ah ok ! merci !
Peut tu me dire comment je peux déduire que les médianes sont concourantes ?
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On démontre de même que B'B = 3 B'G
les médianes sont concourantes en G.
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ZZaza dernière édition par
Ok, J'ai tout compris !
Merci beaucoup de ta patience pour m'avoir aider !!
Tu expliques bien les choses !
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C'est bien.
Bonne nuit.