DM : Formules et fonctions

Bonjour,
J'ai un DM que je ne comprends pas et j'aimerais avoir votre aide SVP

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x² -8x +15

Montrer que f(x) = (x-4)² -1
En déduire une forme factorisée de f(x).
Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes.
a. calculer f("racine carrée de" 3)
b. résoudre l'équation f(x)=0
c. calculer f(4) et montrer que, pour tout réel x: f(x) > -1
en déduire que f admet un minimum sur R.

Pouvez m'éclaircir les questions et me donner des indices pour débuter SVP

Bonsoir,

1/ Factorise l'expression en utilisant les identités remarquables
x²-8x = (x-4)² - ....
2/ Encore les identités remarquables

f(x)=x² -8x+15
x² -8x+15 = (x-4)² -1
x² -8x+15 = x² -8x+4² -1
x² -8x+15 = x² -8x+15
f(x) est donc aussi égal à (x-4)² -1

c'est ca ?

et pour le 2)
on remarque que f(x)= (x-4)² -1, cette expression est lé forme la plus factorisé possible de x² -8x+15, (x-4)² -1 est donc la forme factorisé de f(x)

pour le 3/a.

f("racine carrée" de 3)
on peut utiliser les deux expression, le résultat étant -8 "racine carrée" de 3 +12

est-ce cela ?

Pourquoi + 12 ??

ah désolé +18 non ?

Oui
-8√3 + 18

merci, le 1 et le 2 sont juste aussi ?

pour le 1/ tu as juste vérifié et pour le 2, tu n'as pas factorisé.

pour le 2/ cela nous fait en factorisant avec a²-b² :

(x-4)² -1
(x-4+1)(x-4-1)
(x-3)(x-5)
x(-3-5)

est-ce cela ?

salut

(x-4)² -1
(x-4+1)(x-4-1)
(x-3)(x-5)

là, c'est factorisé.

mais on peut pas mettre x en facteur ?

non : à cause des priorités.

de toute façon tu as transformé ton expression en produit de deux facteurs élémentaires (des monômes), c'est réglé (cf classe de 3e).

et pour le 3/b)
il faut trouver x pour que f(x)=0 non ?

Citation
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x² -8x +15
on a aussi f(x) = (x-4)² -1 et f(x) = (x-5)(x-3).

3. Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes.

a. calculer f("racine carrée de" 3)

b. résoudre l'équation f(x)=0

c. calculer f(4) et montrer que, pour tout réel x: f(x) > -1

en déduire que f admet un minimum sur R.

Pour la question 3b, il s'agit en effet de résoudre une équation : avec les trois expressions possibles pour f(x), je pense que tu vois que le plus simple sera de résoudre l'équation produit avec la forme factorisée.

3/a.

avec x² -8x+15, cela nous fait pour f(√3) : -8√3 + 18

b.

je ne vois pas comment commencer l'équation, est-ce qu'il faut faire (x-5)(x-3) = 0 ??? mais x on le remplace par quoi ?

3a : ok

3b : c'est la bonne forme, il suffit de résoudre COMME EN 3e : ou bien x-5 = 0 ou bien x-3 = 0.

continue !

Il nous faut trouver f(x)=0. Pour cela nous prendrons f(x)=(x-5)(x-3)

Avec x-5=0 Avec x-3=0
x-5=0 x-3=0
x=0+5 x=0+3
x=5 x=3

Calculons :
Avec x=5 Avec x=3
(x-5)(x-3) (x-5)(x-3)
(5-5)(5-3) (3-5)(3-3)
0 fois 2 -2 fois 0
0 0

Nous trouvons bien 0 dans les deux cas. Donc f(x)=0

c'est bien ca ?

oui

pour 3c, il faut choisir entre
f(x) = x²-8x+15
f(x) = (x-4)²-1
f(x) = (x-5)(x-3)
pour calculer f(4) et montrer que, pour tout réel x, on a f(x) > -1

tu optes pour ... ?

Ben pour (x-4)²-1
mais on factorise ou on développe là ? (développe non ?)

Bonjour,

Tu cherches quelle question ?

oui, tu prends effectivement cette forme

tu as donc f(4) = ?

et ensuite, quel est le signe de (x-4)² ?

eh bien nous avons f(4)=(4-4)²-1
ca nous fait -1 en résultat, non ?

oui

rép à ceci maintenant : "et ensuite, quel est le signe de (x-4)² ?"

(x-4)²-1 est négatif

non

prends les choses plus méthodiquement :

(x-4)² est toujours de signe ... puisque c'est un ...

de signe positif puisque c'est un carré, désolé

[quote=mimidu11]
c. calculer f(4) et montrer que, pour tout réel x: f(x) > -1
en déduire que f admet un minimum sur R.quote]

Je fais comment maintenant, je sais que f(4)=-1 et que (x-4)² est positif ?????

(x-4)²≥0
(x-4)² - 1 ≥ .....

f(4) = .....
donc ...

(x-4)² ≥0
(x-4)² -1 ≥ 0 ?

f(4)= (4-4)² -1
f(4=)= -1 ?

donc f admet tout les nombres sur R ?

ah désolé c'est pas (x-4)²-1 ≥ 0 mais (x-4)²-1 ≥ -1
donc f(4)=-1
donc f ... et après j'en suis plus sur ...

Donc la fonction f admet un minimum qui vaut -1.

Merci beaucoup pour votre aide
Passez une bonne soirée