suite et fonction

bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de main pour cet exo, merci.

soient f la fonction définie sur ]0;+infini[ par f(x)=(x/2)+(2/x) et (Un) la suite définie par: Un+1=f(Un) et Uo=3.

étudier les variations de f sur ]0; +infini[.
montrer alors par récurrence que (Un) est bien définie et que pour tout n de $mathbb{N}$ : Un ≥ 2.
étudier le sens de variation de (Un).
en déduire que (Un) est convergente. déterminer la limite de Un quand x tend vers +infini.
je trouve f'(x)=(1/2)-(2/x²)=(x²-4)/2x²=(x-2)(x+2)/2x²

les valeurs qui annulent le numérateur sont x=2 et x=-2

donc f croissante sur ]0;-2] décroissante sur [-2;2] et croissante sur [2;+∞[

c'est correcte ?

Bonsoir,

f est définie sur ]0;+∞[
donc variation sur ]0;2] et [2 ; +∞[

Noemi
Bonsoir,

f est définie sur ]0;+∞[
donc variation sur ]0;2] et [2 ; +∞[

à oui. f décroissante sur ]0;2] f croissante sur [2;+∞[ ?

les variations de f sont elles justes, et est ce que c'est nécessaire de faire un tableau pour cette question ?

Bonsoir,

Les variations sont justes. Le tableau de variation n'est pas demandé.
Indique que pour x variant sur ]0;2], f(x) varie de .....
idem pour x >2

Noemi
Bonsoir,

Les variations sont justes. Le tableau de variation n'est pas demandé.
Indique que pour x variant sur ]0;2], f(x) varie de .....
idem pour x >2

f(2)=2 ? donc f ne peut pas etre décroissante sur ]0;2]. de 0 vers 2 elle est croissante alors ???

je sais pas, alors la courbe va de +infini vers 2 sur ]0;2] ??

slt
je crois que f est decroissant de ]0,2[et est croissant de ]2,+∞[
l'axe des abcisses est une asymptote verticale est en tracant le tableau de variation, on aura une idée sur l'allure de la courbe

j'ai pas copris la question suivante et j'aimerai bien continuer l'exos

La fonction décroit de +∞ à 2 puis croit de 2 à +∞
donc f(x) ≥ 2

C'est une démonstration par récurrence

ah ok

par récurrence c'est la relation qui permet de passer d'un terme à l'autre

je sais, c le raisonnement quyi nou permet de justifier l'hypothese.la courbe ne peut pas decroitre de+∞;2 parceque normalement, on part de 2 a +∞

Pour une démonstration par récurrence,
on démontre que la relation est vraie au premier rang puis on démontre que Un est héréditaire dans N.

je sais pas comment faire pour montrer que (Un) est bien définie

Exprime U(n+1) en fonction de Un en utilisant la fonction f.
Puis tu démontres que U(n+1) ≥ 2

bonsoir, donc Un+1=(Un/2)+(2/Un) ?

Si Un est défini, que peut-on dire de Un+1 ?

Noemi
Si Un est défini, que peut-on dire de Un+1 ?

Un+1 est définie à partir du terme de rang 3

Tu supposes Un >0 et tu démontres que Un+1 >0
Tu utilises les résultats obtenus pour la fonction f pour montrer que Un ≥ 2

Noemi
Tu supposes Un >0 et tu démontres que Un+1 >0
Tu utilises les résultats obtenus pour la fonction f pour montrer que Un ≥ 2

bonsoir, je ne m'en sort pas avec cet exo, je suis toujours bloqué question 2)

on a :f(Un)=U(n+1) et Uo=3 par reccurence, tu demontres par recurrence que quelque soit n ∈N , Un ≥2
tu commence alors a verifier le premier terme qui est U(2), pour n=2
puis tu suppose que l'hypothese est vrai , et qu'elle est meme a l'ordre n+1, tu conclue alors et c fini

Bonsoir,

U0 > 0
On suppose Un >0
alors Un+1 = Un/2 + 2/Un
Un/2>0 et 2/Un .... donc Un+1 > ....

Quel que soit x>0, f(x) ≥ 2, donc Un .....

ok.

U1<Uo, les termes de la suite appartiennent à [2;+∞[ et la fonction est f est croissante sur cet interval. on suppose que Un+1<Un.
comme f est croissante, Un+2=f(Un+1)<f(Un)=Un+1
donc la suite (Un) est décroissante. ?

Non,

Etudie le signe de Un+1 - Un.

Noemi
Non,

Etudie le signe de Un+1 - Un.

pour trouver le signe, je calcul ou sinon je peux en déduire le signe d'après les questions précédentes?

Exprime la différence Un+1 - Un en fonction de Un, puis étudie son signe.

Noemi
Exprime la différence Un+1 - Un en fonction de Un, puis étudie son signe.

je trouve Un+1-Un=-Un/2+2/Un

Réduis au même dénominateur et cherche le signe.

Noemi
Réduis au même dénominateur et cherche le signe.

U(n+1)-Un= (4-(Un)²)/2Un

2Un >0 (Un)²>0 après pour déterminer le signe de 4-(Un)² je sais trop

(4 - Un²) = (2-Un)(2+Un) et comme Un ≥ 2
....

U(n+1)-Un= (4-(Un)²)/2Un= [(2-Un)(2+Un)]/2Un

comme Un≥2 alors 2Un>2; 2+Un≥4; 2-Un≤0 U(n+1)-Un est négatif donc la suite (Un) est décroissante ?

Oui,

C'est cela.

Un est décroissante et Un≥2 donc (Un) converge vers 2?

Oui, Un converge vers 2.

Noemi
Oui, Un converge vers 2.

est ce que il faut justifier, ou on peut écrire directement que Un est convergente vers 2

Tu écris ce que tu as indiqué dans ton précédent post.

ok, merci beaucoup Noemie