Etudier le sens de variations et les limites d'une fonction logarithme népérien



  • Bonjour, voici un DM que je n'arrive pas à faire. Pourriez vous m'aidez svp ?

    On désigne par f la fonction définie sur ] 0 ; +inf [ par (ln x / racine x).
    On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormée (O,i,j).

    a. Etudier le sens de variation de f.
    -> il faut bien trouver la dérivé et j'ai f'(x) = (2-lnx)/(2x racine x).
    je ne vois pas quel peut etre le signe de f'.

    b. Déterminer les fonctions de f en 0 et +inf.
    -> j'ai trouvé en 0 lim f(x) = -inf (à me confirmer)
    et je bloque sur celle à +inf.

    c. Dresser le tableau de variations de f.
    -> je pense y arriver si j'ai le début.

    d. Préciser ses asymptotes.
    Je suppose que celle en 0 en est une.
    Et je pense que celle en +inf en sera une aussi.

    1. On désigne par (T) la tangente à (C) au point d'abscisse 1.
      a. Déterminer une équation de (T)
      -> j'ai trouvé :
      T = f'(1)(x-1)+f(1)
      T = 1 (x-1) + 0
      T = x - 1

    b. On désigne par g la fonction définie sur ]0 ; +inf[ par g(x)=(x-1)-f(x).
    Calculer g'(x) et vérifier que g'(x)= 1/(2x racine x)[lnx + 2(x racine x - 1)]
    -> je bloque ici.

    1. Soit lembda un reel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x -> x lembda , majorant la fonction
      f(x) = ln (x+1) sur ]0; +inf[.
      Soit f lembda (en indice) la fonction définie sur ]0; +inf[ par
      f lembda = ln (x+1) - x lembda.

    a. Etudier les variations de f 1(en indice) sur [0; +inf[.
    -> dois je remplacer lembda par 1 ?

    b. Etudier la lim de f 1 en +inf.
    c. Montrer que quelque soit x appartenant [0;+inf[, ln(x+1) <(ou egal) x.
    d. Que peut on en déduire si lembda >(ou egal) 1.
    e. Le reel lembda vérifie 0 < lembda < 1. Etudier les variations de f lembda. On ne demande pas la limite de f lembda en + inf.
    f. En déduire les valeurs de lembda strictement positives telles que pour tout x >(ou egal) 0 , f(x) <(ou egal) x lembda.

    Mercii beaucoup.



  • Bonjour,

    En Terminale S tu devrais pouvoir utiliser de façon efficace les possibilités offertes par ce forum pour écrire les expressions mathématiques !

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques et des lettres grecques , merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici


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