points d'intersection

Bonjour, voici l'énoncé qui me pose problème:
Dans le plan muni d'un repère, on considère l'hyperbole H d'équation y=(1/x) et le point A(2;1/2).
On s'intéresse au nombre de points d'intersection de la courbe H avec une droite delta passant par A et non parallèle à l'axe des ordonnées.
a) Vérifier que si delta est parallèle à l'axe des abscisses alors A est l'unique point d'intersection de H et delta
b) Dans la suite de l'exercice, on suppose que delta n'est pas parallèle à l'axe des abscisses
1)Montrer que delta a une équation de la forme y=mx+(1-(4m/2)) où m est un réel non nul fixé
2)Résoudre dans R 1/x = mx+(1-(4m/2))
3) En déduire l'ensemble des valeurs non nulles de m pour lesquelles la droite delta coupe la courbe H en deux points distincts
4) Montrer que si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts,alors delta est la tangente à H en A.

Je bloque à la première question.
J'ai voulu résoudre le système suivant:
y=m
1/2 = 2m+p
J'arrive à 1/2 = 2y+p=2/x +p
x = 4/(1-2p)
mais là je bloque.Pouvez-vous me donner des pistes?Merci.

Bonsoir,

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, alors y = constante
comme la droite passe par le point A, alors y = ....
donc x = ....

Bonjour Noemi.
Merci de ta réponse.
Donc si la droite passe par le point A,elle est de la forme y=mx+p.
Comme y=m (m constante), alors m=mx+p
m-mx=p
x(m-1)=p
x=p/(m-1)
Est-ce cela?car je ne vois pas comment cela répond à la question.

m-mx=p
soit mx = ....

tu n'as pas tenu compte du fait que la droite passe par le point A, donc y = ....

m-mx=p
-mx=p-m
mx=m-p
si la droite passe par A,alors y=2m+p
c'est cela?

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par A, alors y = yA
comme yA = 1/2, y = 1/2

Dans ce cas,si je continue,y=yA=1/2
1/2=1/x donc x=2
cela suffit à répondre à la question?

Oui,

Tu indiques qu'il y a que le point A solution.

Merci

J'ai fait la suite.
J'ai trouvé -1/2 et 2m comme solutions de l'équation.
Je n'ai pas du tout d'idée pour la dernière question. Pouvez-vous m'aider?Merci.

Bonjour,

Indique tes calculs pour la résolution de l'équation.

Pas de problème.

(1/x)=mx+(1-4m)/2 équivaut à
((2mx²-2+(1-4m)x)/2x=0
(2mx²-2+x-4mx)/2x=0
pour tout x≠0,
2mx²-2+x-4mx=0
2mx²+(-4m+1)x-2=0
delta=(-4m+1)²-42m*-2=16m²+8m+1=(4m+1)²
x1=(-(-4m+1)-(4m+1))/4=-2/4=-1/2
x2=(-(-4m+1)+(4m+1))/4=8m/4=2m

Une erreur à la fin le 2a = 4m et non 4.

Ah oui merci!dans ce cas,les solutions sont (-1/2m) et 4.
Donc une fois que l'on a résolu l'équation, on répond à la question 3/ en disant que la droite delta coupe la droite H en 2 points (-1/2m) et 4 avec m≠0.C'est cela?
Peux-tu me donner un coup de pouce pour que je puisse répondre à la dernière question?Merci

Personne pour m'aider à terminer?

Pourquoi cette réponse : x = 4 ?

Question 3) analyse le signe de delta.

Excuse-moi,je me suis trompée,c'est x=2 que j'ai trouvé.

Pour la question 3,le discriminant est positif,il y a donc 2 solutions c'est-à-dire 2 points distincts.Cela suffit-il?

Le discriminant comporte le paramètre m.
Il faut discuter selon les valeurs de m.

Je ne comprends pas pourquoi il faut discuter selon les valeurs de m car le discriminant est égal à (4m+1)² donc peu importe la valeur de m,le discriminant sera toujours positif,non?

Bonjour mperthuisot,

Le discriminant sera toujours positif ...
ou nul.

Pour que la droite delta coupe la courbe H en
deux points distincts, il faut exclure la valeur de m qui annule le discriminant (solution unique donc un seul point d'intersection).

C'est justement cette valeur précise de m qu'il faudra considérer dans la question 4.

Merci Iron, c'est vrai que j'avais oublié le cas pour lequel le discriminant est nul. Je n'ai pas réfléchi
Le discriminant est donc positif et admet donc 2 points distincts pour x≠-1/4.Cela répond bien à la question 3/?
Et pour la question 4/, si x=1/4 alors le discriminant est nul.Donc la droite delta coupe la H en un point distinct,alors la solution est:
(-(-4m+1))/(2*2m)=(4m-1)/4m
et pour montrer que delta est la tangente à H,on calcule la limite de la solution en +∞,c'est cela?

Non.

Si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors d’après 3) m = -1/4

connaissant m, tout devient plus simple.

Pour m = -1/4 alors l’équation de delta est y = . . . (en utilisant la question 1)

Parallèlement, on détermine l’équation de la tangente T à H au point d’abscisse a=2, en utilisant par ex la formule y = h’(2) ( x – 2) + h(2)

... et on montre qu’elle correspond bien à notre droite delta.

bonne soirée.

h(x) étant la fonction inverse bien sûr, h(x) = 1/x

Je l'ai appelé h car on nomme H sa représentation graphique dans cet exo.

Merci,j'ai trouvé.