Calculer les dérivées de fonctions exponentielles

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour dériver deux fonctions , définies sur [0;1], qui sont :

g(x) = $e^{-x}$ [1 + ( x/1! ) + ( x²/2! ) + ... + ( $x^n$ /n!) ]
et h(x) = g(x) + $e$ ^{-x} $x^n$ /n!)

Je sais qu'il faut faire pour g d'abord, la formule u'v+uv' , et que ( $e^{-x}$ )' = $e^{-x}$ mais je ne sais pas comment dériver ce qu'il y a entre crochet.

Merci d'avance.
Loris

Bonjour,

Quelle est la dérivée de :
ax ?
ax² ?
$ax^n$ ?

la dérivée de ax = x, ax²=2x, $a x$ ^n $nx^{n-1}$ ?

Non

Pour y = ax; y' = a
pour y = ax² ; y' = 2ax
Pour y = $ax^n$ , y' =

Applique ces dérivées .

ah, non, la dérivée de $ax^n$ = $anx^{n-1}$ .?

Oui,
Donc la dérivée de :
[1 + ( x/1! ) + ( x²/2! ) + ... + ( xn/n!) ]
est : ....

ce que je ne vois pas, cest comment dérivée le n! surtout, je sais que c'est équivalent à 1x2x...x(n-1)xn ... ?

La dérivée de x²/2! est 2x/2!, soit x

et ca marche pour tout n ?

La dérivée de $x^3$ /3! est 3x²/3! = x²/2!
Et la dérivée de
$x^n$ /n! est : ...

la dérivée de $x^n$ /n = $x^{n-1}$ /(n-1)!

La dérivée de $x^n$ /n! = $x^{n-1}$ /(n-1)!

Oui, mais ducoup la dérivée de tout le crochet est égale à ça ?

Pour le crochet, tu dérives chaque termes.

Donc pour le crochet, on trouve que la dérivée = 1 + x + ... + $x^{n-1}$ / (n-1)!

Non,

pour le crochet, la dérivée est :
1 + ( x/1! ) + ( x²/2! ) + ... + ( $x^{n-1}$ /(n-1)!)

ah d'accord, merci beaucoup, donc une fois trouver la dérivée de ça, g'(x)= $e^{-x}$ [1 + (x/1!) + (x²/2!) +...+ $x^n$ /n!) + $e^{-x}$ [1 + (x/1!) + ... + $x^{n-1)}$ /(n-1)! )] , on peut mettre $e^{-x}$ en facteur, mais comment etudier les variations de g ... ?

en mettant $e^{-x}$ en facteur, je trouve g'(x)= $e^{-x}$ [ $x^n$ /n! + $x^{n-1}$ /(n-1)! ]

Tu as un terme en trop.

c'est - $x^n$ / n! qui est en trop ?

Non
C'est $x^{n-1}$ /(n-1)!

ah oui, pcq n arrive aprés n-1, forcement ...

et donc comme $e^{-x}$ = $1/e^x$ > 0 sur [0;1] , et n! > 0 et $x^n$ aussi car n≥2 , donc g'(x)>0 ?

Attention :
g'(x)= $e$ ^{-x} $x^n$ /n!)

Sur quel intervalle varie x ?

sur [0;1] comment on gére le - devant le x, j'avais oublié ?

g'(x)= $e$ ^{-x} $x^n$ /n!)
= $- e$ ^{-x} $x^n$ /n!)
comme x appartient à [0;1]
$x^n$ ....
$e^{-x}$ .....
donc
g'(x) ...

donc $x^n$ > 0, $e^{-x}$ < 0 et n! > 0 ca n ≥2 . Donc, $x^n$ /n! > 0

Conclusion :
g'(x) ...

Donc au final, g(x) est strictement décroissante, et pour h(x)' = $e^{-x}$ [ $x^n$ /n!) + $x^{n-1}$ /(n-1)!)] + g'(x)

et donc si je ne me suis pas trompée dans les signes, h'(x)= $e^{-x}$ [ (-2x/n!) + $x^{n-1}$ /(n-1)!)]

Il manque une puissance n.

sur le -2x, j'ai oublié en recopiant

ducoup, en trouvant le signe de chaque terme, on a h'(x) = qqchose de positif + qqchose de négatif ?

Réduis le terme entre crochet au même dénominateur et cherche son signe.

je trouve entre crochet, $2x^n$ (n-1)! + $x^{n-1}$ n!)/ (n-1)!n! mais je ne vois toujours pas comment trouver le signe du numérateur

La factorisation :
$2x^n$ /n!) + $x^{n-1}$ /(n-1)!)] =
$x^{n-1}$ (-2x+n)/n!

Euh... je ne vois pas du tout comment arriver à ceci !

n! = n x (n-1)!

Ok cest bon j'viens de le refaire, j'ai compris , j'éssaie de continuer, merci beaucoup !