Déterminer toutes les solutions d'une équation différentielle

Bonjour voici l'énoncé de mon devoir : AIDEZ MOI SVP :

on s'intéresse à un parachutiste qui chute en écartant les bras durant le phase ou le parachute est fermé . On admettra que sa vitesse v en mètre par seconde est une fonction dérivable du temps t en seconde et qu'elle vérifie l'équation différentielle : t plus grand ou égal à 0
V(t)= G -(G/60) V(t)
Ou G est à peu près égal à 9.8 m/s^2 est l'accélération due à la pesanteur sur la terre

on me demande en 1) "déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle" ? je sais pas comment faire pour répondre à cette question

Excusez moi c'est V'(t)=G-(G/60)V(t)

Bonjour,

En remplaçant G par 9.8, l'équation diff devient

V'(t) = (-9.8/60) V(t) + 9.8

V' = A V + B avec A = -9.8/60 et B = 9.8

autrement dit, de la forme Y' = aY + b dont les solutions sont les fonctions f définies par f(x) = $Ce^{ax}$ - b/a

C'est plus clair comme ça non ?

oui
c'est tout se qu'il faut répondre ?

Non ! il te faut trouver les solutions de cette équation diff

V(t) = ...

tu sais faire ?

non enfaite on a pas fait de cours dessus c'est pour ca que j'arrive pas trop

Voilà ce qu'il faut savoir : L'équation Y' = aY + b admet pour solutions les fonctions f définies par f(x) = $Ce^{ax}$ - b/a

à adapter ici à V'(t) = (-9.8/60) V(t) + 9.8

à toi

donc Ce^(-9.8/60x) - 60 c'est ca ?

Presque, le x est au numérateur, plus une erreur de signe -60

Les solutions sont de la forme :

$e^{\frac{-9.8t}{60}}+60$

avec C une constante réelle.

Pour déterminer C, il te faut utiliser une valeur connue. Ici, à l'instant initial cad t=0s quelle est la vitesse du parachutiste ?

on la donne pas !

A l'instant t=0s (avant de sauter), on peut considérer (en général) que la vitesse est nulle (suivant l'axe verticale)

Donc à t=0s

v(0) = 0 ça te permet de déduire la constante C

à toi

si v(0)=0 la constante c'est 0 ?

Non

Si t=0

v(0) = 0 ⇔

$Ce^{(-9.8×0/60)}$ + 60 = 0 ⇔

$Ce^0$ + 60 = 0 ⇔

... etc

C = ...

Dsl je vois pas

Si t=0

v(0) = 0 ⇔

$Ce^{(-9.8×0/60)}$ + 60 = 0 ⇔

$Ce^0$ + 60 = 0 ⇔

C + 60 = 0 ⇔ (car $e^0$ =1 tout simplement)

d'où C = -60

ce qui conduit à : $e^{\frac{-9.8t}{60}}+60 = 60 (1 - e^{\frac{-9.8t}{60}})$

finalement, j'ai fait ton exo ... mais il te faut absolument comprendre ça. Ca te sera impératif pour la physique aussi de toute façon. Si tu ne maîtrise pas ça, tu vas avois des difficultés en électricité et en mécanique.

AH d'accord ! Merci oui je sais d'autant plus que la suite c'est pire mais comme tu m'a beaucoup aidé je ne voudrais pas t'importuner d'avantage donc je pose la prochaine question si quelqu'un d'autre veut bien y répondre en tout cas merci

donc grace à cosmos j'arrive à la question 2 qui est :
On note Vo la vitesse (verticale) du parachutiste à l'instant t=0 .
Déterminer l'expression de sa vitesse V en fonction de t et de Vo.

(Au faite cosmos justement je ne maitrice pas bien c'est pour ca que je demande de l'aide maintenant comme ca dés que on m'a expliqué ... je pourrais enfin comprendre j'aimerais bien en tout cas )

Je ne serai pas dispo. J'espère que quelqu'un d'autre prendra le relais

Bon week-end

jenni672
On note Vo la vitesse (verticale) du parachutiste à l'instant t=0 .
Déterminer l'expression de sa vitesse V en fonction de t et de Vo.

Si V0 n'est pas nulle, il faut revenir à

$e^{\frac{-9.8t}{60}}+60$

avec C une constante réelle.

Tout ce que j'ai dit après 16h27 n'est pas à prendre en compte, puisque ce n'est valable que pour une vitesse initiale nulle.

donc la réponse c'est juste ca ? faut pas déterminer la constante ...?
(merci d'avoir répondu de nouveau)

Bonsoir,

Pour calculer la constante C, utilise le fait que v(0) = Vo.

Enfaite quand on à répondu à la question 1 on a aussi répondu à la quastion 2 ? parce que à la question 1 on a prit t=0 !
donc la question 2 est faite je supose ?!

Non,

La réponse à la question 1 est :
$v(t)=c×e−9,8t60+60v(t)=c\times e^{\frac{-9,8t}{60}}+60$

Tu cherches l'expression de C en fonction de Vo sachant que v(0) = Vo.

ha oké , mais je ne vois pas comment faire !

Pour trouver C, tu remplaces dans l'expression, t par 0 et v(0) pat Vo.

Je comprends pas bien la différence entre V(0) et V0 ?

Pour cet exercice V(0) = Vo
V(0) est la vitesse à l'instant t = 0s et on la note ici Vo.

alors V(0)=Ce^(-9.8x/60)+60 ?

V(0) = C + 60 = Vo
soit C = .....

alors c=-60? pour que V(0)=0 (-60+60=0) ?

Non,

V(0) = C + 60 = Vo
soit C = Vo - 60 (rien n'indique que Vo = 0)

mais si on connait pas la valeur de Vo comment on peut déterminer C ? Mais j'ai pas bien compris la question , on doit déterminer C ?

La question est :
Déterminer l'expression de sa vitesse V en fonction de t et de Vo.
Donc la relation finale donne l'expression V(t) en fonction de Vo et t.
Tu remplaces C par Vo - 60.

Donc la réponse c'est V(t)=Vo-60e^(-9.8x/60)+60 ?

Tu as oublié les parenthèses :
V(t)=(Vo-60)e^(-9,8x/60)+60

ha oui pardon alors c'est ca la réponse attendue à cette question !?

Oui
c'est la réponse,

Y a t-il d'autres questions ?

Oui c'était que les 2 premières

Quelle est la question suivante ?

3)On suppose maintenant que l'instant t=0 est celui ou le parachutiste débute son saut en écartant les bras , c'est-à-dire que Vo=0.

a)Exprimer alors V en fonction de t .

Moi je pense que V(t)=Vo=0 ?