Etude d'une suite à l'aide d'une fonction auxiliaire avec Ln

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci. je suis bloqué partie III

Partie I: étude d'une fonction auxiliaire

Soit g définie sur [0;+∞[ par g(x)= ln(1+x)-(1,5x²+x)/(x+1)²

déterminer la limite de g(x) en +∞
calculer g'(x) est en déduire son signe
dresser le tableau de variation de g. en déduire le signe de g(x).

partie II:

soit f définie sur [0;+∞[ par: f(x)=[ln(1+x)]/x-(0.5)/(x+1) si x0 et f(0)=0.5.

Montrer que f est continue en 0.
déterminer la limite de f(x) en +∞
3)Montrer que pour tout x de ]0;+∞[ , f'(x)=-g(x)/x².
4)Dresser le tableau de variations de f.
5)En déduire que pour tout x de ]0;+∞[ : 0<[ln(1+x)]/x1/2+1/(2x+2)<1

partie III:

étude d'une suite: soit (Un) la suite définie par U1=1 et Un+1=ln(1+Un). On admet que cette suite est bien définie.

1)Montrer que pour tout n de N : Un>0
2)Montrer que pour tout n de N : 0 < $U_{n+1}$ /Un≤(1/2)+1/(2Un+2)<1 ()(on pourra utiliser les résultats de la partie II).
3)En déduire que la suite (Un) est strictement décroissante et qu'elle converge.
4) en utilisant (), montrer que limite de Un=0 quand n tend vers +∞

partie III

comment doit on faire pour montrer que Un>0 ?

Re bonjour,

Montre que la suite est croissante.

Noemi
Re bonjour,

Montre que la suite est croissante.

U1=1 U2=0.69 U3=0.5 la suite est décroissante, non ?

Exact,
la suite est décroissante, c'est la question 3.

Fais une démonstration par récurrence.

Noemi
Exact,
la suite est décroissante, c'est la question 3.

Fais une démonstration par récurrence.

mais pour montrer que Un>0, je sais pas du tout comment il faut faire

Tu connais le principe d'une démonstration par récurrence ?

Noemi
Tu connais le principe d'une démonstration par récurrence ?

j'ai déja vu mais j'ai pas compris

Tu vérifies que la propriété est vraie pour n = 1,
Tu supposes qu'elle est vraie à l'ordre n et tu démontres qu'elle est vraie à l'ordre n+1
(Un héréditaire dans N*)

tu as vérifié pour n = 1, car U1 = 1 > 0
Si Un >0 que peux t-on dire de Un+1 ?

Noemi
Tu vérifies que la propriété est vraie pour n = 1,
Tu supposes qu'elle est vraie à l'ordre n et tu démontres qu'elle est vraie à l'ordre n+1
(Un héréditaire dans N*)

tu as vérifié pour n = 1, car U1 = 1 > 0
Si Un >0 que peux t-on dire de Un+1 ?

Un + 1>1 => ln(Un +1) >0

Oui,
Donc $U_{n+1}$ >0.

Noemi
Oui,
Donc $U_{n+1}$ >0.

on peut dire que la suite est héréditaire ?

on est pas obligé de refaire tout un raisonnement ?

Non,

Tu notes ce que j'ai écrit au début puis ton calcul final.

d'accord et pour la question 2)

L'expression de la question 2 ne comprend que des $U_n$ ou y a t-il des $U_{n+1}$ aussi ?

Noemi
L'expression de la question 2 ne comprend que des $U_n$ ou y a t-il des $U_{n+1}$ aussi ?

$U_{n+1}$ /Un pour le 1er terme

Donc tu utilises le résultat de la partie II question 5.

Noemi
Donc tu utilises le résultat de la partie II question 5.

on dit juste que Un=x comme Un>0, et en en déduit directement le résultat demandé ?

L'expression de la question 5) est vraie pour tout x > 0
comme Un > 0, l'expression de la question 2) est vraie pour tout Un.

Noemi
L'expression de la question 5) est vraie pour tout x > 0
comme Un > 0, l'expression de la question 2) est vraie pour tout Un.
pour répondre à la question 2) j'indique juste ça ?

Oui.
Tu peux aussi indiquer x = Un

Noemi
Oui.
Tu peux aussi indiquer x = Un

ok.

à part le calcul de quelques termes, il n'y a pas d'autres possibilités pour montrer que la suite est décroissante ?

L'analyse des premiers termes n'est pas suffisante.
Pour montrer que la suite est décroissante, étudie le signe du rapport :
$U$ _{n+1} $U_n$

Noemi
L'analyse des premiers termes n'est pas suffisante.
Pour montrer que la suite est décroissante, étudie le signe du rapport :
$U$ _{n+1} $U_n$

$U_{n+1}$ /Un = ln(1+Un)/Un

précédement, on a dit que Un>0 et donc ln(1+Un)>0, donc je ne vois pas du tout comment montrer que Un est strictement décroissante

Utilise l'inéquation de la question 2)
(La question est en déduire)

Noemi
Utilise l'inéquation de la question 2)
(La question est en déduire)

$U_{n+1}$ /Un ≤ 1/2+1/(2Un+2) donc $U_{n+1}$ /Un ≤1 , on en déduit que Un est strictement décroissante ?

Pour la question 2)
L'expression est :
(Un+1)/Un(1/2) + 1/(2Un+2) ?
ou
(Un+1)/Un(1/2) - 1/(2Un+2) ?

j'ai oublié un truc : l'expression c'est

0 < $U_{n+1}$ /Un ≤ (1/2) + 1/(2Un+2) < 1

Tu n'as pas répondu à ma question.
L'inéquation pour la question 2
c'est :
0<(Un+1)/(2Un) + 1/(2Un+2)<1 ?
ou
0<(Un+1)/(2Un) - 1/(2Un+2)<1 ?

Noemi
Tu n'as pas répondu à ma question.
L'inéquation pour la question 2
c'est :
0<(Un+1)/(2Un) + 1/(2Un+2)<1 ?
ou
0<(Un+1)/(2Un) - 1/(2Un+2)<1 ?

je ne sais pas , je ne comprend pas d'oû proviennent ces 2 inéquations

C'est l'énoncé :
partie III
question 2) Montrer que pour tout n de N *: 0<(Un+1)/Un(1/2)+1/(2Un+2)<1

Cette inéquation est-elle correcte ?

Noemi
C'est l'énoncé :
partie III
question 2) Montrer que pour tout n de N *: 0<(Un+1)/Un(1/2)+1/(2Un+2)<1

Cette inéquation est-elle correcte ?

non, j'ai écrit plus bas l'inéquation de l'énoncé

C'est celle-la ?
0 < Un+1/Un ≤ (1/2) + 1/(2Un+2) < 1

Si c'est le cas, la réponse à la question 3 est immédiate.

oui c'est 0< $U_{n+1}$ /Un ≤ (1/2) + 1/(2Un+2) < 1

0 < $U_{n+1}$ /Un < 1 ; Un>0; donc en multipliant par Un on en déduit que $U_{n+1}$
(Un) est décroissante

il manque des mots, ça beug

donc 0 < $U_{n+1}$ <1 ; Un>0; donc en multipliant par Un on en déduit que $U_{n+1}$ <Un alors (Un) est décroissante

je ne sais pas se qu'il se passe, il y a des mots qui ne veulent pas s'écrire

comment on fait pour montrer que Un est décroissante

A partir de l'inéquation :
0< Un+1/Un ≤ (1/2) + 1/(2Un+2) < 1
tu déduis :
Un+1/Un < 1
donc Un suite décroissante.

Calcule la limite.