Exercice d'application de la dérivation

[lilou8377]

Bonsoir à tous, je bloque un peu sur cet exercice, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance.

Voici la consigne:
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et deux réels m et M tels que:
pour tout réel x de I, m$\le$f'(x)$\le$M

1. En utilisant la fonction h définie, sur I, par:
   h(x)= Mx-f(x)
   démontrer que si a et b sont deux réels de I tels que a < b, alors:
   f(b)-f(a)$\le$M(b-a)
   De plus, si a et b sont deux réels de I tels que a < b, en déduire un encadrement de f(b)-f(a).

[Noemi]

Bonsoir,

Montre que h'(x) ≥0 puis calcule :
(h(b)-h(a)/(b-a)

[lilou8377]

Pour la dérivée, je trouve h'(x)= M-f'(x)
J'ai fais un tableau de variation, h(x) est décroissante et la dérivée s'annule en M.

Mais pour le reste je ne vois pas comment faire ???

[Noemi]

Comment trouves tu que h est décroissante ?

Calcule (h(b)-h(a)/(b-a)

[lilou8377]

j'ai fais un tableau de variation ?

[Noemi]

Montre ton tableau.

[lilou8377]

Ah non, j'ai fais une erreur. h(x) est croissante .

[Noemi]

Oui h(x) est croissante, tu en déduis l'inégalité.

[lilou8377]

Mais alors , est ce qu'elle s'annule ?

[Noemi]

Pourquoi cherches tu à savoir si h(x) s'annule ?

[lilou8377]

Mais alors comment trouves tu que la fonction est croissante ?

[Noemi]

La fonction h est croissante si h'(x) > 0

[lilou8377]

alors, M-f'(x) > 0 , mais comment on le sait ?

[Noemi]

M - f'(x) ≥ 0 est une donnée de l'énoncé.

[lilou8377]

D'accord . Merci beaucoup pour ton aide !!