Aire d'un triangle: Position du point M pour une aire maximale

Bonjour,
j'ai un devoir dont voici l'énoncé:

Soit ABCDEFGH un cube de côté 8 . Pour tout point M de la diagonale BH on construit un triangle ACM et on s'intéresse à la position de M rendant l'aire de ACM minimale.
On appelle K le projeté orthogonal de M sur le plan ABC.

on appelle x la longueur de BM. Dans quel intervalle varie X?
Montrer que AC est perpendiculaire au plan BDH . En déduire la nature du triangle ACM?
3)Reproduire en grandeur réelle le triangle BDH et placer I.
Déterminer alors le réel x rendant l'aire de ACM minimale.

Pour la question 1 J'ai trouvé que l'intervalle variait entre ( 0 et 8 racine de 3)
j'ai utilisé pythagore en plusieurs fois
Pour la 2, ACM est isocèle en M
Pour la 4 j'ai trouvé x= 8 / racine de 3

Le problème c'est qu'on vient d'étudier les calculs vectoriels, relation de chasles ( programme de 1ère S ) et qu'on n'a fait que 2 exercices pour démontrer que des points étaient alignés et les sommes de vecteurs et dans tout le devoir je n'ai utilisé que pythagore et juste le théorème pour prouver que AC était perpendiculaire au plan BDH . De plus j'ai trouvé que le projeté K et le milieu de AC ,I étaient confondus.

J'aimerais savoir s'il y a une autre façon de faire ce devoir en utilisant les vecteurs puisqu'il s'agit de la leçon en cours avant les vacances . Je n'ai pas trouvé et ce la me semble bizarre de travailler avec pythagore essentiellement.

merci de m'aider

*** Titre modifié car non explicite***

Bonjour,

Comment as tu montré que le triangle ACM était isocèle ?

bonjour,
voici ce que j'ai fait pour la question 2

dans le carré ABCD les diagonales AC et BD se coupent en leur milieu I et son perpendiculaires donc AC est perpendiculaire à BD.
Si 2 droites sont perpendiculaires entre elles , une parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre donc AC est perpendiculaire à la parallèle de DH qui passe par I
Dans le plan BDH AC est perpendiculaire à 2 droites passant par B,D et B,H donc AC est perpendiculaire au plan.
Le triangle AHC est équilatéral puisque les diagonales AH= HC = AC
HK est donc la hauteur mais aussi la médiane et tout point situé sur la médiane est équidistant des points des côtés opposés donc MC = MA

Je l'ai fait aussi d'une autre façon

Les points B,D,H sont équidistants de AMC car AB= BC = 8
AD= DC =8 et AH= HC = 8 racine de 2.
Cela montre que 3 points du plan BDH et donc le plan lui même est perpendiculaire à AC puisu'il faut 3 points pour définir un plan.
M appartient au plan BDH donc il est équidistant de A et de C et MA = MC et AMC est isocèle en M

Pour la question 1 j'ai fait

dans le triangle DAB rectangle en A on a AD et AB =8
BD²= 8² + 8²
BD = 8 racine 2

dans le triangle HDB rectangle en D
on a HD =8 et BD = 8 racine 2
avec pythagore HB = 8 racine3

Donc l'intervalle varie ( 0 , 8 racine3 )
pour la question 4

puisque AMC est isocèle en M le pied de la hauteur est I milieu de AC donc l'aire de AMC = MI x AC /2

L'aire est minimale quand MI est minimale . M fait partie de BH donc I est son projeté et I et K sont=

Soit BMI rectangle en M et HMI rectangle en M aussi
IB² = MI² +MB²
IH² = HM²+ MI²
MI² = IB²-MB² = IH² - HM²

IB²= 32
IH² = ID²+ HD² et ID²= IB²

IH²= 32+8 ²= 96

MI² = 32-MB² = 96- HM²

soit MB=x

donc MI² = 32-x² = 96-(8 racine3 -x)²

128= 16racine3 x
x= 8/racine 3

voila je ne sais pas si c'est correct et surtout y avait il une autre façon de le faire en se servant du calcul vectoriel

merci

As-tu reproduit le triangle BDH et grandeur réelle ?

bonjour ,
oui j'ai reproduit le triangle BDH en grandeur réelle dans la question3 . Je pense l'avoir bien fait

Pour les autres est ce que mon raisonnement est bon ou est ce qu'il faut que je refasse tout autrement ?
Merci

Vérifie sur ton graphique la valeur trouvée pour x.

quand je regarde sur le triangle BDH et que je fais la perpendiculaire en I je trouve 4 alors qu'en valeur approchée 8 / r 3 = 4,6!! donc j'ai dû faire une erreur mais j'ai passé beaucoup de temps à trouver cette réponse et je ne sais pas où j'ai pu me tromper?

Dans ton triangle, tu cherches la position du point M pour que la distance MI soit minimale. puis tu calcules la distance BM correspondante.

pour moi la question c'est le réel x qui rend l'aire du triangle ACM minimale

c'est la valeur de MI minimale soit après les calculs que j'ai fait précedemment pour x = 8/ racine 3 , MI = 4 racine 2 /3 et je ne vois pas le rapport avec le triangle construit en grandeur réelle BDH ?

j'avoue être perdue maintenant!

A l'aide du triangle, tu cherches la position du point M sur le segment [BH] telle que la distance MI soit minimale.
Puis tu calcules la distance MI.

je vois pas comment je peux faire pour le calcul , je crois que j'ai trop en tête ce que j'ai fait avant et je n'arrive pas à repartir autrement .
je vais réfléchir et reprendre 1 peu plus tard ,là je ne comprend pas et je suis découragée
merci encore mais je ne vois pas comment calculer MI de cette façon!

Graphiquement, réfléchis comment placer le point M pour que la distance MI soit minimale. Puis fais le calcul ( Thalès ).

donc dans le triangle BDH ,
j'ai placé mon point I milieu de BD , je fais la perpendiculaire à BD en I et l'intersection c'est M et
j'applique thalès BM/BH = BI/ BD = IM/ DH c'est ça ?

C'est la perpendiculaire à (BH) qu'il faut faire. MI doit être minimum.

j'ai fait la perpendiculaire IM à BH , mais dans ce cas je ne peux pas appliquer thalès dans BDH ?

Les deux triangles sont homothétiques. les mesures des angles sont identiques.
Donc tu peux écrire BK/BD = BI/BM.

ok mais k et I sont bien confondus ? comme je l'avais demontré précedemment?

en fait après les calculs de x que j'avais fait, j'ai cherché la valeur de MI et j'ai trouvé racine 32/ racine 3 soit 4racine 2/racine 3 ce qui fait approximativement 3,26 et cette mesure correspond bien avec ma figure de BDH et IM perpendiculaire à BH
Je pense donc que le résultat est bon et que mes calculs sont corrects m^me si la methode était un peu longue .

merci

Attention,
Ce n'est pas IM qu'il faut calculer mais x = BM.

bonjour,

je pensais que pour que l'aire ACM soit minimale il fallait que MI soit minimal c'est pour cela que j'ai fait de cette façon, quant à BM il correspond à
BH /3 (encore faut il que j'arrive à le démontrer) et dans ce cas mon dessin est juste et MI est bien égal à 4 racine2/racine 3 .
Si dans le triangle BMI rectangle en M j'applique pythagore je vérifie bien les résultats , mais je ne comprend pas comment calculer BM en utilisant les triangles homothétiques , mais c'est vrai que cela me semble plus rapide mais je ne sais pas le faire et je n'ai pas retrouvé de cours la dessus !

J'ai indiqué la relation à utiliser dans un de mes précédents posts.

oui BK/ BD = BI/BM mais pour moi I et K sont confondus donc cela me semble bizarre et pour appliquer thalès il faut que les droites soient parallèles et dans mon triangle BDH IM est perpendiculaire en M et ce ce fait il n'y a pas de parallèle?
je suis désolée je n'y arrive pas . Je crois qu'il faut que je reparte à 0 sur une feuille blanche et oublié de ce que j'ai fait ce sera peut être + clair

La relation est : BM/BD = BI/BH

ok merci je vais le faire . les 2 triangles BMI et BDH , ils ont tous les 2 un angle en commun et un angle droit donc le 3ème angle est semblable , c'est pour ça qu'on peut appliquer cette relation?
je voudrais retrouver le cours pour réviser ça pour bien mémoriser
vous pouvez me dire ou chercher , j'ai regarder dans triangles homothetique et triangle mais je n'ai pas retrouvé un théorème correspondant
merci encore

C'est dans le cours sur les triangles homothétiques.

j'ai trouvé et aussi les théorèmes dans les triangles semblables.

Par contre pour le reste du devoir est ce que le raisonnement était bon ainsi que les résultats? merci

Le reste est correct.

merci de votre aide et j'ai fait les calculs pour BM et ça concorde bien mais c'est plus rapide que ce que j'avais fait et en plus ça m'a remis en mémoire les règles sur les triangles semblables
bonne journée