3. Démontrer une propriété du cours limites

Démontrer une propriété du cours limites

  • P

    Bonjour j'ai quelques difficultés pour cet exercice :

    n désigne un entier naturel non nul
    1)a) démontrer que pour tout x>0
    eee^n/xn/x^n/xn = ex(1−nlnx/x)e^{x(1-nlnx/x)}ex(1−nlnx/x)

    b) en déduire que lim +oo eee^x/xn/x^n/xn=+oo
    Là j'ai réussi

    1. Pour démontrer lim -oo xxx^nexe^xex=0, effectuer le changement de variable X=-x et utiliser la limite établie dans la question 1.

    Je n'ai pas compris cette question

    3)a) Verifier que pour tout réel x>0
    ln(x)/xnln(x)/x^nln(x)/xn= (1/n)(ln(x(1/n)(ln(x(1/n)(ln(x^n)/xn)/x^n)/xn)

    b) En déduire alors que lim +oo ln(x)/xnln(x)/x^nln(x)/xn=0

    Voila. Merci pour votre aide

    C 1 réponse
  • C

    Je pense que la 1a) est plutôt exe^xex /x/x/x^n=ex(1−nlnx/x)=e^{x(1-nlnx/x)}=ex(1−nlnx/x)
    réponse :
    exe^xex /xn/x^n/xn
    =ex=e^x=ex / enlnxe^{nlnx}enlnx
    =ex−nlnx=e^{x - nlnx}=ex−nlnx
    =ex(1−nlnx/x)=e^{x(1-nlnx/x)}=ex(1−nlnx/x)
    b) ...
    2)
    effectuer un changement de variable c remplacer ici x par -X (puisque X=-x ) .
    Ne pas oublier que ici si x tend vers - ∞,
    X=- x tend vers - (- ∞)=+∞.

    3a) utilise les propriétés du ln.
    b) effectuer un changement de variable.

    P 1 réponse
  • P

    Pour la question 2 je remplace la variable dans la formule de la question 1)a) ou 1)b)?

    Merci

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Tu fais un changement de variable dans l'expression xxx^nexe^xex.

    P 1 réponse
  • P

    Donc pour la 2 je trouve :

    −X-X−X^ne−xe^{-x}e−x = −X-X−X^n/ex/e^x/ex
    Comme lim +oo eee^x/xn/x^n/xn=+oo ,
    lim +oo −X-X−X^n/ex/e^x/ex étant l'inverse est égale à 0.
    On remplace X=-x on a lim +oo XXX^n/e−x/e^{-x}/e−x=0
    donc lim xxx^nexe^xex=0

    Est-ce juste?

    Pour la 3)b) je ne vois pas comment je peut en arriver à la limite, je dois utiliser 1/n * ln(xln(xln(x^n)/xn)/x^n)/xn?

    C 1 réponse
  • C

    Dans la question 2, on ne te demande pas d'utiliser la question 1a) et 1b).
    Tu remplaces la variable x par -X dans
    "la limite eee^xxnx^nxn quand x tend vers -∞"
    donc
    "la limite eee^{-X}(−X)n(-X)^n(−X)n quand (-X) tend vers -∞"
    c'est pour cela qu'on a :
    "la limite eee^{-X}(−X)n(-X)^n(−X)n quand X tend vers +∞"

    il est plus courant de dire X tend vers + ∞ que de dire -X tend vers -∞.

    P 1 réponse
  • P

    Mais on a le droit d'ecrire que :
    "lim -X tend vers -oo de eee^{-X}−Xn-X^n−Xn "est égale à
    "lim X tend vers +oo de eee^{-X}−Xn-X^n−Xn".
    Peut on suprimer les "-" comme ca?

    C 1 réponse
  • C

    Tu as fait une petite erreur de calcul regarde ce que j'ai fait précedemment.
    Pour la 3b) regarde les limites que tu connais et cherche le changement de variable à effectuer.

    P 1 réponse
  • P

    Je ne vois pas du tout pour la 3)b)

    C 1 réponse
  • C

    Aide toi de cela pour la 2) :
    (−X)(-X)(−X)^n=(−1)n=(-1)^n=(−1)n X n^nn

    (−1)n(-1)^n(−1)n est une constante donc

    (−1)n(-1)^n(−1)n*0 = 0

    pour la question 3b), cherche encore le changement de variable.
    petit indice utilise la limite suivante :

    lim_(x→+∞) ln(x)/x=0

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