Prouver la dérivabilité d'une fonction en 0

[ohayo]

Bonjour, j'ai un petit souci pour prouver la dérivabilité en 0 de la fonction suivante : f(x) = ln(1+x²)/x qui s'écrit aussi f(x) = (2ln(x)/x)+(1/x)(ln(1+(1/x²))

Tout ce que j'ai essayé jusqu'alors m'a mené droit dans le mur, merci d'avance pour vos réponses

[Thierry]

Salut,

Tu trouveras certainement dans ton cours : ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
dont tu as besoin pour calculer ta limite ...

a+

[ohayo]

Euh, je n'ai pas cette formule dans mon cours ^^", celle qui s'en rapproche le plus est lim ln x/(x-1) = 1
x→1

[Noemi]

Bonjour,

La fonction est-elle définie en x = 0 ? que vaut f(0) ?

[ohayo]

Bonjour, désolé du temps de réponse, j'ai eu des obligations personnelles, f(0) vaut 0, mais pour la fonction je ne sais pas trop, l'énoncé est peu clair, on me dit que la fonction f est définie sur [0;+∞[ par f(x) = ln(1+x²)/x pour x > 0

[Noemi]

Calcule la limite de (f(x)-f(0))/x quand x tend vers 0.

[ohayo]

lim (ln(x²+1)/x)/x
x→0
⇔ lim ln(x²+1)/x²
x→0
On prend x² = X
⇔ lim ln(X+1)/X
X→0
On sait que ln(1) = 0, donc on peut écrire
⇔ lim (ln(X+1) - ln(1))/X
X→0
or ln(X+1)-ln(1)/X = ln'(1) donc
⇔ lim ln'(1)
X→0
= 1/1 = 1

Est-ce bon?

[Noemi]

C'est correct.

[ohayo]

Ok ^^ désolé d'avoir pris de votre temps pour cette question

[Noemi]

L'essentiel est que tu aies compris.