Résoudre un problème dans l'espace en utilisant le barycentre

(Re)bonjour, j'ai commencé cet exo mais j'aurais besoin d'un coup de main. merci

1)Soit M,N,O,P quatre points de l'espace. Montrer que MNOP est un parallélogramme si, et seulement si, le point P est barycentre des points pondérés : (M,1),(N,-1),(O,1)

2)On suppose que ABCD est un parallélogramme. Déterminer l'ensemble S des points M de l'espace tels que:
$∣∣ma⃗−mb⃗+mc⃗∣∣||\vec {ma} - \vec {mb} + \vec {mc}||$ = $∣∣bd⃗∣∣||\vec {bd}||$

3)a) Soient ABCD et A'B'C'D' deux parallélogrammes dans l'espace. On note I,J,K,L les milieux respectifs des segments [AA'],[BB'],[CC'],[DD'].
Montrer que L est barycentre des points I,J,K affectés de coefficients que l'on déterminera.
Que peut on en déduire pour le quadrilatère IJKL?

b) Montrer que les centre Ω1, Ω2, Ω3 des parallélogramme ABCD, A'B'C'D' et IJKL sont alignés et préciser les positions relatives de Ω1, Ω2 et Ω3.

on peu partir de MN=OP (vecteur)?

bonsoir,
essaie de traduire le fait que P est barycentre de (M,1),(N,-1),(0,1) avec des vecteurs
et après, que peux tu dire des vecteurs $mn⃗\vec{mn}$ et $po⃗\vec{po}$ et des vecteurs $mp⃗\vec{mp}$ et $no⃗\vec{no}$ si MNOP est un parallélogramme?

jaybee
bonsoir,
essaie de traduire le fait que P est barycentre de (M,1),(N,-1),(0,1) avec des vecteurs
et après, que peux tu dire des vecteurs $mn⃗\vec{mn}$ et $po⃗\vec{po}$ et des vecteurs $mp⃗\vec{mp}$ et $no⃗\vec{no}$ si MNOP est un parallélogramme?

je part de PM-PN+PO=0 (en vecteur) et j'essaie d'arriver à MN=PO ?

c'est ça oui

jaybee
c'est ça oui

ok mais je commence par introduire M dans PN ? je m'en sort pas trop là.

non
selon moi, le plus simple avec les vecteurs, c'est déja de toujours n'avoir que des signe +, donc commence par remplacer -PN par +NP et après, regarde si tu ne peut pas utiliser la relation de chasles

jaybee
non
selon moi, le plus simple avec les vecteurs, c'est déja de toujours n'avoir que des signe +, donc commence par remplacer -PN par +NP et après, regarde si tu ne peut pas utiliser la relation de chasles

ok. donc PM+NP+PO=PN+NM+NP+PO => PO=MN ?

?

c'est correcte pour la question 1 ?

oui c'est ça!

jaybee
oui c'est ça!

ok. pour la 2), j'introduit D comme barycentre ?

oui comme ça tu trouvera une relation entre $∣md⃗∣|\vec{md}|$ et $∣bd⃗∣|\vec{bd}|$

ok, donc l'ensemble des points M est le cercle de centre D et de rayon BD ?

c'est plutot la sphère de centre D et de rayon BD ?

Oui,

Une sphère.

Noemi
Oui,

Une sphère.

ok. pour la question 3)a) j'arrive pas

Utilise la relation trouvée en 1).

mais il faut trouver les coefficients des points I,J et K d'abord ?

Ecris les relations vectorielles pour les deux parallélogrammes, puis utilise les points I, J, K et L.

pour le parallélogramme ABCD on a: DA-DB+DC=0 (en vecteur)
pour le parallélogramme A'B'C'D' on a : D'A'-D'B'+D'C'=0 (en vecteur) ?

Tu peux écrire plus simplement :
vect AB = vect DC et vect A'B' = vect D'C'
soit
vect AB + vect A'B' = ......
puis
vect AI + vect IJ + vect JB + ... =
puis tu simplifies

Noemi
Tu peux écrire plus simplement :
vect AB = vect DC et vect A'B' = vect D'C'
soit
vect AB + vect A'B' = ......
puis
vect AI + vect IJ + vect JB + ... =
puis tu simplifies

on fait AB+A'B'=DC+D'C' ?

Oui,

Utilise Chasles en introduisant les points I, J, K et L.

Noemi
Oui,

Utilise Chasles en introduisant les points I, J, K et L.

je vois pas trop où est ce qu'il faut en venir d'après cette égalité

Tu vas trouver vect IJ = vect LK, soit que le quadrilatère IJLK est un parallélogramme.

Noemi
Tu vas trouver vect IJ = vect LK, soit que le quadrilatère IJLK est un parallélogramme.ok mais je ne sais pas où introduire les points I,J,K et L

I et J avec A, B, A' et B'
et K et L avec C, D, C', D'.

Noemi
I et J avec A, B, A' et B'
et K et L avec C, D, C', D'.

comme ça, AI+IB+A'J+JB'=DK+KC+D'L+LC' ?

Non
AI+IJ + JB+A'I + IJ +JB'=DL + LK +KC+D'L+LK + KC'

A simplifier

ok, donc on a:

IJ+AI+JB+A'I+IJ+JB'+LD+CK+LD'+kL+C'K=LK
IJ=LK

AI se simplifie avec LD; JB avec CK; A'I avec LD'; IJ avec KL; JB' avec C'K ?

Oui,

Donc le quadrilatère IJKL est un parallélogramme et L est le barycentre des points .....

mais en fait il fallait d'abord montrer que L était le barycentre des points I,J et K, comment fait on pour trouver les coefficients des points I,J et K ?

Tu utilises le fait que vect IJ = vect LK,

Si tu veux trouver la relation tu pouvais poursuivre ton travail avec :
pour le parallélogramme ABCD on a: DA-DB+DC=0
pour le parallélogramme A'B'C'D' on a : D'A'-D'B'+D'C'=0

Noemi
Tu utilises le fait que vect IJ = vect LK,

Si tu veux trouver la relation tu pouvais poursuivre ton travail avec :
pour le parallélogramme ABCD on a: DA-DB+DC=0
pour le parallélogramme A'B'C'D' on a : D'A'-D'B'+D'C'=0

d'accord. si je continue avec IJ=LK, il faut montrer que L est le barycentre des points I,J et K. mais comment faire sans les coefficients

vect IJ = vect LK
vect IL + vect LJ = vect LK
Soit
vect LI - vect LJ + vect LK = vect O
Donc L .....

Noemi
vect IJ = vect LK
vect IL + vect LJ = vect LK
Soit
vect LI - vect LJ + vect LK = vect O
Donc L .....

mais je ne comprend pas, quand on fait passser LK à gauche, il devient KL ou -LK et comment on retrouve un - devant LJ ?

vect IL + vect LJ = vect LK
J'ai fait passer tout à droite
vect 0 = -vect IL - vect LJ + vect LK
soit vect LI - vect LJ + vect LK = vect 0

Noemi
vect IL + vect LJ = vect LK
J'ai fait passer tout à droite
vect 0 = -vect IL - vect LJ + vect LK
soit vect LI - vect LJ + vect LK = vect 0

Ecris une relation avec les centres.
Par exemple
Ω1A +Ω1C = 0 en vecteur
...