Centre de gravité d'un triangle

Bonjour ,

Voila j'ai un problème dans cette exercice :frowning2:

HYPTOHESES : Soit ABC un triangle quelconque non aplati et I le milieu du côté [BC].( On rappelle que [AI] est la médiane issue de A du triangle ABC ). On appelle J et K les millieux respectifs des côtés [AC] et[AB] .

Soit G le point défini par la relation vectorielle : AG = 2/3 AI .

Le but de ce problème est de démontrer , que le point G est le centre de gravité du triangle ABC ( c'est-à-dire le point d'intersection des 3 médianes du triangles ABC )

Utilisation de la géométrie analytique

On pose (vecteur) AB=(vecteur) i et (vecteur) AC= (vecteur) j

Faire une figure ( placer G ). Représenter les vecteurs i et j . Expliquer pourquoi ces vecteurs forment une base. ( sa je l'ai fait mais j'aimerais quand même être sur que c'est juste)

Dans toutes la suite , on considère le repère ( A ; vecteur i , vecteur j ) d'origine A . Toutes les coordonnées seront considérées dans ce repère.

Donner les coordonnées des points A , B et C. Calculer celles de I,J et K ( en revanche pour cette exercice j'ai du mal )
Quelles sont les coordonnées du vecteur AI ? en déduire que celles de G sont ( 1/3 ; 1/3 ) ( même chose pour celui la )
Aprés avoir calculer leurs coordonnées , justifier la colinéarité des vecteurs BJ et BG d'une part et celle des vecteurs CK et CG d'autre part. ( même chose pour celui la aussi )
Conclure sur le point G

Merci a ceux qui m'aideront^^ J'ai vraiment du mal avec les math....merci encore a l apersonne qui prendra le temps de m'aider

Bonjour,

Le point I est le milieu du segment [BC], donc comment on calcule les coordonnées ?

I ( (xB + xC)/2 ; (yC + yB) / 2 )

C'est sa ?
Et sinon pour les autres exercices j'ai aussi du mal merci de m'aider^^ et encore merci de m'avoir répondu^^

C'est ça.

ok ^^merci
et pour la 1) sa va si ma réponse est : ces vecteurs forment une base car ils ne sont pas colinéaires ?

et pour les autres exercices , j'aurais aussi besoin d'aide

Merci de prendre le temps de m'aider^^

Bonjour,

Il faut aussi préciser que les deux vecteurs sont non nuls.

merci de m'avoir corrigé^^
pour la 3 ) je n'arrive pas a prouver que G a pour coordonnée (1/3 ; 1/3 )
Merci d'avance^^

As-tu calculé les coordonnées des points A, B, C, I, J, K ?
Indique tes résultats.

A( 0 ; 0 )
B( 1 ; 0 )
C( 0 ; 1 )

I( 1/2 ; 1/2 )
J( 0 ; 1/2 )
K( 1/2 ; 0 ) Voila^^, ensuite ?

Indique les coordonnées du vecteur AI, puis calcule celle du vecteur AG
Puis celles du point G.

AI ( 1/2 ; 1/2 ) ?
j'aimeré juste savoir si ces coordonnée sont juste , ensuite cela me semble plus clair ^^
Il me restera ensuite plus que la 4) et j'auraiis fini grâce a vous , merci^^

Oui,
AI (1/2 ; 1/2)
D'ou AG (.... ; ....)

AG( 1/2 : 1/3 ) ??

Non
vect AG = 2/3 vect AI, donc .....

AI( (1/2) * (2/3) ; (1/2) * (2/3) )

Jespère que cette fois ci , c'est sa

Ce n'est pas AI, mais AG
(2/31/2 ; 2/31/2) = (1/3;1/3)

ah oui c'est vrai^^ :d
merci , et enfin pour la 4) , on me demande de calculer les coordonnées des vecteurs.....Calculer?!
et dans ce cas comment prouver qu'ils sont colinéaire ?

Pour le 5) , je dois seulement dire que G est le centre de gravité du triangle ou je dois préciser , si oui quoi ?

Merci merci encore de votre aide ?

Calcule les coordonnées des vecteurs et cherche une relation entre les deux vecteurs.
Analyse le résultat de la question 4 et conclue sur le point G.

tien , j'ai remarké que en multipliant par 2/3 les coordonnées de BJ et CK on obtient ceux de BG et CG est-ce juste ?

Oui,

C'est juste.
Tu écris BG = 2/3 BJ et .....

CG=2/3CK

merci^^
et donc pour la 5 ) j'ai mis , g est bien le centre de gravité du triangle^^ , jespère que c'est bon

merci encore

Pour la question 5) tu dois prendre en compte :
Le but de ce problème est de démontrer , que le point G est le centre de gravité du triangle ABC ( c'est-à-dire le point d'intersection des 3 médianes du triangles ABC )

Donc il faut que je montre que G est le point d'intersection de ces 3 médianes si je comprend bien , mais comment exactement ( je rique a tout les coups de m'embrouiller )

Il suffit d'écrire les relations vectorielles.

AH.... D'accord je viens de comprendre
Merci infiniement de votre aide si précieusement apportées