Les limites.

Bonjour, bonjour !

Voilà, j'avais à faire plusieurs exercices pendant ces vacances : ils sont tous fait !
Seulement, parmi ces exercices, il y en avait un constitué de plusieurs questions indépendantes : il s'agit d'un exercice bilan sur les limites.
Et une des questions me pose problème parce-que je ne sais pas comment la traiter, même si je m'en sort avec les limites.

La voici :

**Les fonctions f(x) = (x²+4x)/(x-1), et h(x)= (3x)/(x-1), sont définies sur l'intervalle ] -∞; 1[U]1; +∞[.
Etudier la limite en 1 pour f(x) et h(x).
Etudier la limite en 1 de g(x)= (x²-x)/(x-1) définie sur ]1; +∞[

D'habitude, quand il s'agit d'étudier sur une "petite" intervalle (par exemple :
]5; +∞[ ), je sais me débrouiller et je n'ai pas besoin d'aide, mais là comme il s'agit d'une union d'intervalles, je ne sais pas comment étudier la limite en 1.. :rolling_eyes: Pour la seconde question, je n'arrive pas a changer d'écriture sans avoir de forme indéterminée.

Quelqu'un pourrait-il m'aider et m'expliquer ?
Merci beaucoup de votre aide.

Bonjour,

Tu fais l'étude pour un intervalle puis pour l'autre.

Ah donc je dois d'abord étudier la limite en 1 sur ] -∞; 1[ puis sur ]1; +∞[ ?
C'est tout ?

Oui,

Indique tes calculs.

Oui.

Pour f(x):

Sur ]1; +∞[ :

On voit que lim (x→1 et x>1) de f(x) = Forme indéterminée.
Donc on change l'écriture. On utilise :
f(x) = (x²+4x)/(x-1) = (x+4)/( 1 - (1/x)).

On trouve alors que lim (x→1 et x>1) de f(x) = +∞.

Sur ] -∞; 1[ :

On sait d'après l'étude en 1 sur ]1; +∞[ que f(x) est une forme indéterminée. On reprend donc la même écriture que précédement, c'est à dire f(x) = (x+4)/( 1 - (1/x)).
On peut alors voir que lim (x→1 et x<1) = -∞.

Comment est-ce qu'on conclue une fois que l'étude est faite ?

Pas d'indication supplémentaire à écrire. Tu as deux limites différentes.

Pourquoi dis tu forme indéterminée au début ?

Ah d'accord, je ne savais pas.

J'ai dis que f(x) est une forme indéterminée car si on ne change pas l'écriture, on aurait lim (x→ 1 et x>1) = (x²+4x)/(x-1) = +∞/0+.

Non
quand x tend vers 1 ; x²+4x tend vers 5.

Pour g(x), quelle écriture dois-je utiliser ? Parce-que j'ai essayé en factorisant par x et par x² mais j'obtiens toujours une forme indéterminée, ce qui ne me permet pas d'avancer.

Noemi
Non
quand x tend vers 1 ; x²+4x tend vers 5.

Mais pourtant lorsqu'on remplace de tête (je sais qu'il ne faut pas le faire mais ça marche ) les x par 1, on a un numérateur de 5, j'en conviens, mais le numérateur est 0+ non (1-1= 0 mais 0+ car x>1) ?

Donc on aurait 5/0, ce qui ne se peut pas ?

5/0, c'est de la forme a/x ou a*1/x
et limite de 1/x si x tend vers 0 , x> 0 c'est +∞

Par contre pour g c'est différent
si x tend vers 1, on trouve 0/0 forme indéterminée,

factorise le numérateur et simplifie l'expression.

D'accord.

Pour g(x), si je factorise par x le numérateur, j'obtiens :
g(x) = x(x-1) / (x-1)

Je peux barrer (x-1) ? Enfin, je peux le supprimer pour simplifier l'expression ? Mais il me restera x ?

Oui

si x différent de 1;, g(x) = x
calcule la limite si x tend vers 1 , x>1
cela donne .....

Ah oui !! La limite de cette fonction est donc lim (x→1 et x>1) = 1 !
Puisque si x = 1 et que la fonction est x, comme ici, alors lim = 1.

Oui,

La limite est 1.

Ah oui, cette fonction est très simple au final ! (il faut bien savoir factoriser..)

Ensuite pour h(x)= (3x)/(x-1) définie sur ] -∞; 1[U]1; +∞[, je fais exactement le même travail que pour f(x) :

Sur ]1; +∞[ :

On voit que lim (x→1 et x>1) de h(x) = +∞.
Je n'ai pas besoin ici de changer l'écriture de cette fonction.

Même travail sur ] -∞; 1[ :

On peut voir que lim (x→1 et x<1) de h(x)= -∞ car justement l'intervalle n'est pas la même donc au lieu d'avoir 0+, on a 0-, ce qui nous permet de trouver que lim (x→1 et x<1) de h(x) = -∞

C'est juste.

Aaah

Merci beaucoup de votre aide en tout cas !