Résoudre un problème d'optimisation en géométrie

Salut,
j'ai un dm de maths à faire pour la rentrée mais je suis bloquée, pouvez-vous m'aider?

Voici le sujet:
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8cm et AC=10cm. Soit M un point quelconque le l'hypoténuse [BC].
La parallèle à (AC) passant par M coupe (AB) en N et la parallèle à (AB) passant par M coupe (AC) en P.
Pour quelle position du point M l'aire du rectangle MNAP est-elle maximale?

Je pense qu'il faut utiliser le théorème de Thalès pour trouver MP.
Soit CP=a, j'ai trouvé que MP était égal à 4/5a.
De plus PA=AC-CP=10-a
J'en ai donc déduit que l'aire de ANMP était égale à MP×PA
=4/5a×(10-a)
=8a-4/5a²

Mais après je ne vois pas comment faire pour trouver la position de M pour que l'aire soit maximale.

Merci d'avance

Bonjour,

Etudie la fonction f(x) = 8x - 4x²/5

Si l'on factorise par x: f(x)=x(-4/5x+8)
Mais je ne vois pas ce que l'on peut faire de plus et à quoi ça sert?

Quelle est la forme de la courbe représentative de cette fonction ?

Elle est croissante jusqu'au maximum qu'elle atteint puis une fois atteint elle est décroissante. C'est bien ça?

Comment trouve t-on les coordonnées du maximum ?

Je ne vois pas.

Le sommet d'une parabole ?

Le sommet d'une parabole correspond au point de changement du sens de variation de la fonction. Mais je ne me souviens plus comment on le trouve.

Pour y = ax²+bx+c
sommet x= -b/2a; y = ...

Je suis perdue, je ne comprends pas pourquoi on doit utiliser la représentation graphique de la fonction alors qu'on ne connait pas la valeur du maximum.

C'est l'étude des variations de la fonctions qui te donne le maximum.

Qu'as-tu vu en cours sur les fonctions du type : y = ax²+bx+c ?

Je n'ai pas vu ce type de fonction particulière. J'ai vu les fonctions affines et les fonctions "quelconques".
Cependant cette fonction peut être factorisée par x:
x(ax+b+c) mais après je ne vois pas et peut-être que sa n'avance à rien.

Je viens de me rappeler, c'est un trinôme du second degré, non?

Oui

C'est un trinôme du second degré.

Que connais tu sur un trinôme du second degré ?

Dans le cas y=ax²+bx+c, on peut le factoriser de telle façon que
y=a(x²+b/a+c/a)
y=a((x+...)² -...²+c/a

Je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut mettre à la place de ...

y=ax²+bx+c,
y=a(x²+bx/a+c/a)
y=a((x+ b/2a)² - b²/4a²+c/a)

Applique pour y = -4x²/5 + 8x

y=-4/5(x²-32/5x)
y=-4/5((x-64/5)²-(64/5)²)

Mais il n'y a pas un problème? Parce que (64/5)² je trouve ça bizarre...

Oui, c'est faux
a = -4/5 et b = 8
soit b/2a = 8/(-8/5) = -5

Rectifie

Donc y=-4/5((x-5)²-25)
y=-4/5(x-5+5)(x-5-5)
y=-4/5x(x-10)

Je crois que c'est bon cette fois, non?

C'est juste.

Mais à quoi sa va me servir?

Tu cherche la valeur de a ( que l'on a noté x) pour obtenir une aire maximale
tu utilises :
y=-4/5((x-5)²-25)
que l'on peut écrire :
y=4/5 (25 - (x-5)²)
et le maximum est atteint si x = ......

Si x=5?

Oui,
x = 5

car le maximum de : 25 - (x-5)²
est 25 soit x-5 = 0 ; x = 5

Ensuite je calcule f(x) en remplaçant x par 5?

Oui,

Si le calcul de l'aire est demandé.

La question est: pour quelle position du point M l'aire du rectangle MNAP est-elle maximale?

Donc je dis que,
L'aire de MNAP est maximale lorsque CM=5cm?

Attention,

tu as posé CP = a, donc c'est CP = 5 cm , donc tu dois calculer MP puis CM.

Ah oui c'est vrai.

Donc MP=4/5×5=4
Et CM²=CP²+MP²
CM²=5²+4²
CM²=41
CM=√41
CM≈6.4

C'est ça?

C'est juste.

Merci beaucoup, j'ai tout compris!