Récurrence, suites...(Spécialité)

Bonjour à tous !! Étant en spécialité et n'ayant, normalement pas trop de difficultés, je me retrouve aujourd'hui face à un problème sur lequel je bloque complet !

Pouvez vous m'aider svp?

On considère les suites (Xn) et (Yn) définie par X0=1 et Y0=8

Xn+1 = 7/3 Xn + 1/3 Yn + 1
et
Yn+1 = 20/3 Xn + 8/3 Yn + 5

Mq par récurrence que les points Mn (Xn ; Yn) sont sur la droite d'équation (D) : 5x-y+3=0
En déduire x , Xn+1 =Xn +2

Ici j'ai donc fait :

Étape 1 : le point (X0=1; Y0=8) est bien sur la droite (D) car 5(1)-8+3=0
Étape 2 :
Supposons que les points Mi(Xi; Yi), i variant de 1 à n, soient sur la droite (D). La question revient à voir si Mn+1 y est aussi.
Je pose En = 5Xn-Yn+3 et on a donc : En=0

On va calculer En+1 = 5Xn+1-Yn+1+3
Par définition de Xn+1 et de Yn+1, on a : En+1 = 5(7Xn/3+Yn+1/3)-(20Xn/3+8Yn/3+5)+3
C'est à dire : En+1 = (35/3-20/3)Xn+(5/3-8/3)Yn+5-5+3 = 5Xn-Yn+3 = En = 0
Donc : En=0 entraîne En+1=0

Etape 3 : Conclusion : la proposition est vraie quel que soit n0

Comme les points Mn sont sur la droite, cela signifie que Xn et Yn répondent à l'équation de la droite (D) : 5Xn-Yn+3=0,
donc : Yn=5Xn+3
Remplaçons Yn par cette valeur précédemment trouvée dans Xn+1 :
Xn+1=7Xn/3+(5Xn+3)/3+1=4Xn+2

On à donc une suite définie par X0=1; Xn+1=4Xn+2

Montrez par récurrence que tous les Xn sont des entiers naturels. En déduire que tous les Yn sont aussi des entiers naturels.

Ici je bloque complétement !! Et pour la suite de l'exercice j'aurai encore quelques questions...:s

Merci de votre aide !!

Superflow

Bonsoir,

Question 2)
Indique tes calculs pour cette démonstration par récurrence.

Bonjour,

Si Xn+1=4Xn+2 et X0=1 (donc entier), un raisonnement ultra-simple par récurrence montrera que Xn est lui aussi entier ?! Mais je ne vois pas comment procéder par cette récurrence... :frowning2:

Merci

Superflow

Quelle est la démarche pour une démonstration par récurrence ?

Et bien...

Initialisation (On vérifie que P(n) est vraie pour n0)
Hérédité (On suppose...)
Conclusion (...)

Je connais la démarche pour une démonstration par récurrence...mais ici je ne vois pas comment montrez que tous les Xn sont des entiers naturels.

Merci

Superflow

Superflow

Initialisation (On vérifie que P(n) est vraie pour n0)

$X_0$ = 1 donc ....

Superflow

Hérédité (On suppose...)

$X_n$ entier

Superflow

Conclusion (...)

$X$ _{n+1} $4X_n$ +2
Comme $X_n$ entier, $4X_n$ entier et $4X_n$ + 2 ....

Ok, je vois...je pensais à une chose plus spécifique pour une telle démonstration...comme quoi, rien de sert de se compliquer l'esprit !

Montrer que :

a) Xn est divisible par 3 si et seulement si Yn est divisible par 3

b) Si Xn et Yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.

4)a) Montrer, par récurrence, que Xn=1/3(4^n*5-2)

b) En déduire que 4^n*5-2 est un multiple de 3, pour tout entier naturel n.

Pour la a) dois-je exprimer Xn en fonction de Yn afin d'en déduire la réponse à la question posée?!

Je suppose que pour la b), la réponse découle de la a)...

Pour le reste, je bloque encore, première fois que cela m'arrive vraiment, je suis fâché avec cet exercice (à rendre pour mercredi...:s)

Pouvez-vous m'aider encore une fois? M'indiquer comment faire pour ces questions...

Merci beaucoup à vous !

Superflow

3 a)
On suppose Yn multiple de 3 et on prend en compte le fait que Xn est un entier.