Etudier une fonction avec racines carrées

(Re)bonjour, j'ai cet exo à faire, j'aurais besoin d'un coup de main svp. merci.

problème :

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,i,j) d'unité
graphique 2 cm.

Partie A:

On considère la fonction numérique u définie sur R par u(x)=√(x²+1)-x et on désigne par (C) sa courbe représentative.

1)a)Déterminer la limite de u en -∞.
b)Montrer que pour tout réel x, on a u(x)= 1/[√(x²+1)+x]. En déduire la limite de u en +∞.

2)a) Montrer que u(x)+2x tend vers 0 quand x tend vers -∞.
b) Montrer que pour tout réel x, on a u(x) > 0 et étudier le signe de u(x)+2x.
c) Interpréter graphiquement ces résultats.

3)a) Montrer que la dérivée de la fonction u est définie sur R par u'(x)= -u(x)/√(x²+1)
b)Étudier les variations de la fonction u.

Tracer la courbe (C ) et son asymptote oblique.
√(x²+1) tend vers +∞ et x tend vers -∞ => - x tend vers +∞ donc lim de u(x) = +∞ quand x tend verx -∞ ?

Re Bonjour,

La 1 a) est juste.
pour le b) pense expression conjuguée.

1)b) au dénominateur on a: [√(x²+1)+x][√(x²+1)-x]= x²+1-x² =1?

Pas au dénominateur mais au numérateur.

a oui, c'est bon.

2)a) ok.

2)b) je ne sais pas comment faire

2 b) mets x en facteur dans le radical.

Bonjour Cosmos ! c'est Joie-de-vivre

Pour la question 2)b), essaie de partir de :

Pour tout réel x on a : x² + 1 > x² ≥ 0 , ... , et tu arriveras à u(x)>0

Ensuite tu peux en déduire de cette inégalité ci-dessus pour u(x) + 2x en remarquant que u(-x)>0 pour tout x réel.

Bon courage
Joie-de-vivre

je ne sais pas quelle méthode choisir

Tu hésite entre quoi ?

Montre tes calculs ?

2)b) si je pars de : pour tout réel x, x²+1>x² comment je fais ensuite

√(x²+1) > ....
et si x ≥0
√(x²+1) - x >

si x ≤0,
....

2)b) pour tout réel x, x²+1>x² => √(x²+1)>x donc √(x²+1)-x >0 => u(x)>0

u(x)+2x=1/u(x)>0

x²+1>x² => √(x²+1)>x
et si x < 0 ?

Noemi
x²+1>x² => √(x²+1)>x
et si x < 0 ?c'est correcte aussi

Tu dois écrire :

x²+1>x² => √(x²+1)>√x²
s x > 0, cela donne x²+1>x² => √(x²+1)>x
si x < 0, cela donne x²+1>x² => √(x²+1)>- x

je peux écrire juste pour x>0

Non,

Tu dois démontrer l'inégalité pour tous réel x, c'est pour cela que j'avais indiqué de mettre x² en facteur sous le radical
u(x) = valeur absolue de x √(1+1/x²) - x
√(1+1/x²) = 1 + a > 1 ( avec a>0)
Si x > 0; u(x) > 0 car x(1+a) - x = ax
si x < 0; u(x) > 0 car -x(1+a) - x = -x(2+a)

ok.

2)c) On en déduit que la droite Δ d' équation y=-2x est asymptote oblique à (C) en -∞ et que (C) est au dessus de Δ.

C'est juste.

ok, pour le reste c'est ok. pour la 2ème partie, je la poste ici ?

Si on a besoin de la partie A, tu postes ici sinon ouvre une autre discussion.

partie B:

On considère la fonction f définie sur par : f(x)=$\int_{0}^{x} {-1/\sqrt{t^2+1} \text} ,\text {d}{t}$ et Γ sa courbe représentative.

Montrer que pout tout réel x, on a f(x)= ln u(x) en utilisant la question de la partie A 3)a).
Déterminer les limites de f en -∞, puis en +∞ et étudier les variations de f.
a) Déterminer une équation de la tangente T tangente à Γ au point d'abscisse 0.
b) On considère la fonction φ définie sur R par:
φ(x)= f(x) + x
Montrer que φ est croissante sur R et que φ(0) = 0.
En déduire la position de la courbe Γ par rapport à la tangente T.
Tracer sur le même graphique la courbe Γ et la tangente T.

jé n'arrive pas à la question 1

A partir de u'(x)= -u(x)/√(x²+1)
Ecris u'(x)/u(x) puis
calcule l'intégrale.

je dois retrouver f(x)=$\int_{0}^{x} {-1/\sqrt{t^2+1} \text} ,\text {d}{t}$ ?

Tu pars de cette écriture pour trouver f(x) = lnu(x)
Calcule cette intégrale.

je verrais demain. bonne nuit

Bonne nuit.

je n'arrive pas à cette question

Bonsoir sil2b
A partir de u'(x)= -u(x)/√(x²+1)
Ecris u'(x)/u(x) puis compare avec l'intégrale.

bonsoir,

j'ai calculé u'(x)/u(x), je retrouve f(x)

Tu ne peux pas trouver f(x)
u'(x)= -u(x)/√(x²+1)
u'(x)/u(x) = -1/√(x²+1)

Quelle est la fonction qui a pour dérivée u'(x)/u(x) ?

j'ai vraiment du mal avec le calcul. ce que je veux faire, c'est partir de -1/√(x²+1) et trouver la primitive.

donc -1/√(x²+1) : u(x)=√(x²+1) u'(x)=x/√(x²+1) et après je sais pas trop

A partir de
u'(x)/u(x) = -1/√(x²+1)
une primitive de u'(x)/u(x) est lnu(x)
Donc f(x) = ...

d'après la formule : la primitive de u'/u c'est ln |u|.

ici, on a -1/√(x²+1) donc u=√(x²+1) => u'= x/√(x²+1) donc au final on a (x/√(x²+1))/√(x²+1). ce n'est pas clair pour moi

Attention
u(x)= 1/[√(x²+1)+x]

ok mais pour calculer la primitive, on a le quotient u'(x)/u(x), pour u'(x) je remplace par -√(x²+1)+x/√(x²+1) ?

u'(t)= -u(t)/√(t²+1)
Soit
u'(t)/u(t) = -1/√(t²+1)
dt/u(t) = -dt/√(t²+1)
tu passes ensuite à l'intégrale.

dans cette question: primitive = ln(1/√(x²+1)+x) et dérivée= -1/√(x²+1) ?

sil2b
dans cette question: primitive = ln(1/√(x²+1)+x) et dérivée= -1/√(x²+1) ?

Ce n'est pas primitive mais la fonction.