Exercice espace (produit scalaire et barycentre)

Bonjour j'ai un exercice en mathématiques tel que:
A,B,C sont 3 points du plan ou de l'espace, fixés.
On appelle I le barycentre de (A;2) (B;-3) et (C;4) et J le barycentre de (A;1) (B;1) et (C;1)

Montrer que pour tout point M: $2ma⃗−3mb⃗+4mc⃗=mi⃗2\vec{ma}-3\vec{mb}+4\vec{mc}=\vec{mi}$ et $ma⃗+mb⃗+mc⃗=3mj⃗\vec{ma}+\vec{mb}+\vec{mc}=3\vec{mj}$
Déterminer l'ensemble des points M du plan/espace tels que: $∥2ma⃗−3mb⃗+4mc⃗∥=∥ma⃗+mb⃗+mc⃗∥\parallel2\vec{ma}-3\vec{mb}+4\vec{mc}\parallel= \parallel\vec{ma}+\vec{mb}+\vec{mc}\parallel$
Utiliser la même méthode pour déterminer l'ensemble des points M du plan tels que: $∥4ma⃗−5mb⃗+2mc⃗∥=∥3ma⃗−4mb⃗+mc⃗∥\parallel4\vec{ma}-5\vec{mb}+2\vec{mc}\parallel= \parallel3\vec{ma}-4\vec{mb}+\vec{mc}\parallel$
On souhaite déterminer l'ensemble des points M du plan/espace tels que:
$∥ma⃗+2mb⃗+3mc⃗∥=∥2ma⃗−mb⃗+2mc⃗∥\parallel\vec{ma}+2\vec{mb}+3\vec{mc}\parallel= \parallel2\vec{ma}-\vec{mb}+2\vec{mc}\parallel$
4.1) Appliquer la méthode précédente. Pourquoi ne permet-elle plus de conclure?
4.2) Factoriser " $∥u⃗∥2−∥v⃗∥2\parallel\vec{u}\parallel ^{2}-\parallel\vec{v}\parallel ^{2}$ "
4.3)Montrer que la relation i,itiale est équivalente à $ms⃗.mt⃗=0\vec{ms}.\vec{mt}=0$ où S et T sont 2 points à définir.
4.3)En déduire l'ensemble cherché
Déterminer l'ensemble des points M du plan/espace tels que:
$∥3ma⃗−mb⃗+mc⃗∥=∥2ma⃗−mb⃗+2mc⃗∥\parallel3\vec{ma}-\vec{mb}+\vec{mc}\parallel= \parallel2\vec{ma}-\vec{mb}+2\vec{mc}\parallel$

J'en suis arrivée à la question 3 mais je bloque complètement. J'ai essayé de déterminer des barycentres des points pondérés (A;4) (B;-5) et (C;2) et de (A;3) (B;-4) (C;1) ...mais les coefficients du barycentre 2 s'annulent alors je ne sais pas si je peux faire ça, j'obtie,s le vecteur nul pour l'expression d'un des 2 barycentres "crée"

si vous pouviez m'aiguiller pour la question 3 qui me bloque...merci d'avance en tout cas pour tout ce que vous faites

Bonsoir,

Tu es sur de l'énoncé?
Première relation vectorielle
et relation de la question 3)

pardon pour le 1) 3MI pas MI
la 3 par contre c'est sure. Sinon le reste est bon j'ai revérifié les expressions, navrée pour ces erreurs de frappe, je m'en tapperais les doigts, navrée.

Pour le 3) Transforme la deuxième relation
par exemple -4 vect AB + vect AC

j'obtiens -4vect AB + vect AC
en faisant la relation de Chasles sur MB =MA +AB et sur MC=MA+AC (tous des vecteurs)
je pose des barycentres maintenant:
F barycentre de (A;2) (B,-5) et (C;2)
ce qui m'ammène à une simplification de la relation de gauche dans la norme: le tout vaut vect FM
pour le mambre de droite j'ai la simplification -4vectAB + vect AC...donc je pose G barycentre de (B;-4) et (C;1) et le tout me ramene à 3GA

donc FM=3GA
j'en conclue quoi exactement?

géométriquement j'entends...parce que je ne vois pas bien là...l'ensemble des points M serait...un cercle?!

ps: si vous pouviez m'aider sur la suite des autres questions en me donnant juste une piste à chaque fois comme ça je pourrais finir à temps cet exo, ceci dit ça n'a pas d'importance tant que je comprends au final.

La norme du vecteur de droite est une constante
Soit MF = cte d'ou
1. applique la même méthode que pour le 2)

Factorise a²-b²=(a-b)(a+b)
Si le produit scalaire est nul .....

Idem que 2