Etudier la parité, les limites, la dérivée et les variations de signe d'une fonction avec ln

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci.

Soient f la fonction définie sur R par : f(x)= ln $[(9$ ^x $1)/3^x$ ] et C sa courbe représentative dans un repère (o;i;j).

1)Montrer que f est paire.
2)Déterminer lim f(x) quand x tend vers + infini et vers - infini.
3)Calculer f'(x) et étudier son signe.
4)Dresser le tableau de variations de f.
5)Montrer que les droites D e D' d'équations respectives : y= x ln 3 et y= -x ln 3 sont asymptotes à C.

donc, pour la question 1, l'ensemble de définition de la foncton f est symétrique par rapport à 0 et f(-x)=ln $[(9$ ^{-x} $1)/3^{-x}$ ] mais ensuite, comment doit on faire ?

Salut !

Tu développes pour retrouver la forme initiale de f(x) car f(-x) doit être égale à f(x) dans le cas de la symétrie (m. paire).

ensuite je peux remplacer $9^{-x}$ par $e^{-xln9}$ et $3^{-x}$ par $e^{-xln3}$ ?

sil2b
ensuite je peux remplacer $9^{-x}$ par $e^{-xln9}$ et $3^{-x}$ par $e^{-xln3}$ ?

Je te conseillerais de le faire directement sur f(x) en gardant en tête que ln(9) peut être écris 2ln(3)

« Un problème créé ne peut être résolu en réfléchissant de la même manière qu’il a été créé. »

« Rien n'est plus proche du vrai que le faux. »

**-  A. Einstein         

* * ***

je ne vois pas trop comment débuter

sil2b
je ne vois pas trop comment débuter

L'énoncé pré-suppose que la fonction est paire, il suffit de démontrer que f(-x) = f(x).

f(-x) = $9^{-x}$ +1 / $3^{-x}$ = $1/9^x$ + 1 / $1/3^x$ = ...
continue ce développement pour retrouver f(x)

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ça fait ln $1/9^x$ + 1) - ln $1/3^x$ ) ?

Oui mais,
f(-x) =ln( 9-x+1 / 3-x) = ln (1/9x + 1 / 1/3x) = ...
Continue à partir d'ici en multipliant en haut et en bas par $9^x$

ok mais $9^x$ * $1/3^x$ = 2 donc on peut l'écrire comment

sil2b
ok mais $9^x$ * $1/3^x$ = 2 donc on peut l'écrire comment

$9^x$ * $1/3^x$ = $3^x$

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c'est ce que je pensais au début mais $9^x$ ça vaut $3*3^x$ ou est ce que l'on peut l'écrire autrement ?

C'est une propriété de la puissance algébrique :

$a$ ^x $b^x$ = $a/b)^x$

ok, on retrouve bien f(x). je continurais demain. merci pour ton aide.

bonjour,

quand x tend vers +infini, lim de $3^x$ = +∞ et lim de $9^x$ = +∞?

sil2b
bonjour,

quand x tend vers +infini, lim de $3^x$ = +∞ et lim de $9^x$ = +∞?

Hello !

Oui,
a>0

$formdata=formdata=%5clim+_%7bx+%5crightarrow+%7b%2b%7d+%5cinfty%7da%5ex+%3d+%7b%2b%7d+%5cinfty%0d%0a$

Comme tu peux t'en douter, ça croît très rapidement.

ok. mais comment fait on pour enlever la forme indéterminée. j'ai vraiment du mal car c'es la 1ère fois que je travaille sur une fonction avec des puissances

Scinde $9^x$ en $3^x$ * $3^x$

ah, c'est encore une propriété sur les puissances. est ce que tu pourrais me donner les principales propriété sur les puisssances, ça serait sympa.

L'article sur Wikipédia résume assez bien, je t'ai orienté le lien vers le passage traitant des opérations :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_(algèbre)#Op.C3.A9rations_alg.C3.A9briques_sur_les_puissances

Je m'absente, faut que je mange et que je range un peu ce foutoir environnent

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ok. donc il reste $ln(1+3^x$ ). $1+3^x$ tend vers +infini donc lim de f(x) quand x tend vers +infini =+infini

Attention, tu dois aussi diviser 1 par $3^x$

$3^x$ * $3^x$ + $1)/3^x$ = $3^x$ + $1/3^x$

Lim $3^x$ = +infini
Lim $1/3^x$ = 0

Donc oui, la limite au voisinage de +infini est +infini

oui mince, je suis aller trop vite. et en -∞, lim $9^x$ =-∞ ou 0 ?

$formdata=formdata=%5clim+_%7bx+%5crightarrow+%7b-%7d+%5cinfty%7d9%5ex+%3d+0$

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ok donc je dois écrire f(x) sous une autre forme parce que $1/3^x$ = 1/0, ce n'est donc pas possible ?

Si, la limite de L / 0 est égale à ±infini.
Tout dépend du "signe de 0" (0+ ou 0-), car on considère qu'il s'agit en réalité de
0 + ε ou 0 - ε

ah oui mais comment fait on pour déterminer le signe de 0 avec les puissance.

C'est un 0+. Lorsque x tend vers -infini pour $a^x$ on obtient des valeurs positives de plus en plus proches de 0.

a ok

donc $1/3^x$ tend vers +∞ ?

Oui, la limite de $1/3^x$ quand x tend vers -infini est égale à +infini.

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donc lim f(x)=+∞ quand x tend vers -∞

sil2b
donc lim f(x)=+∞ quand x tend vers -∞

Yes sir.

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ok

$3)(9^x$ )'= $ln9*9^x$ ?

sil2b
ok

$3)(9^x$ )'= $ln9*9^x$ ?

on a ln(u) donc u' $(x) = [3$ ^x $(l n 9 < e m > 9$ ^x $) - (9$ ^x $+ 1) (l n 3 < / e m > 3$ ^x $3^x$ )² ? bon après il faut simplifier tout ça

??

j'ai vraiment besoin d'aide, je ne m'en sort pas pour le calcul de la dérivée

sil2b
on a ln(u) donc u' $(x) = [3$ ^x $(l n 9 < e m > 9$ ^x $) - (9$ ^x $+ 1) (l n 3 < / e m > 3$ ^x $3^x$ )² ? bon après il faut simplifier tout ça

ln(u)' = u'/u
avec u = (9x + 1 ) / 3 x

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ok mais pour le calcul de u', il faut que je fasse (u/v)' = u'v-uv'/v² ?