3 ) Soit h(x)=E(x)\boxed{h(x)=E(x)}h(x)=E(x)
Cette fonction EEE est la fonction "partie entière"
Elle est définie sur RRR
Par définition :
Soit n un entier quelconque de ZZZ ,
pour tout xxx de [n,n+1[n,n+1[n,n+1[, E(x)=nE(x)=nE(x)=n
On recherche la limite possible en 1.
On est obligé de distinguer les cas x>1 et x<1 vu que le comportement de la fonction h n'est pas le même dans les deux cas.
Pour x∈[1,2[,h(x)=1x\in [1,2[, h(x)=1x∈[1,2[,h(x)=1 (fonction constante sur l'intervalle [1,2[)
Donc limx→1,x>1h(x)=1\displaystyle \lim_{x\to 1, x\gt 1}h(x)=1x→1,x>1limh(x)=1 (limite à droite finie)
Pour x∈[0,1[,h(x)=0x\in [0,1[, h(x)=0x∈[0,1[,h(x)=0 ( fonction constante sur l'intervalle [0,1[ )
Donc limx→1,x<1h(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 1, x\lt 1}h(x)=0x→1,x<1limh(x)=0 (limite à gauche finie)
Remarque relative à la continuité.
h(1)=E(1)=1h(1)=E(1)=1h(1)=E(1)=1
Vu que limx→1,x>1h(x)=h(1)\displaystyle \lim_{x\to 1, x\gt 1}h(x)=h(1)x→1,x>1limh(x)=h(1), la fonction est continue à droite en 1.
Vu que limx→1,x<1h(x)≠h(1)\displaystyle \lim_{x\to 1, x\lt 1}h(x)\ne h(1)x→1,x<1limh(x)=h(1), la fonction n'est pas continue à gauche en 1.
Illustration graphique :
Bonne réflexion.
