Maths Spé Nombres premiers et congruences.

[ihab27]

Bonjour voilà j'ai un gros DM j'ai réussi quelques exercices mais il y en a un ou j'ai du mal :
x désigne un entier supérieur ou égal à é et m un entier naturel non nul.
Exprimer P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + .... - x^2m-1 + x^2m en fonction de x.
Je trouve (1 + $x^{2m+1}$)/1+x
En déduire que x+1 divise $x^{2m+1}$. C'est bon.

2.a. q désigne un entier naturel impair strictement supérieur à 1 et q' un entier naturel non nul. Démontrer que $2^{q{q}^{\prime }}$ + 1 n'est jamais un nombre premier.
b. m désigne un entier naturel non nul. Démontrer que si $2^m$ + 1 est premier alors m est de la forum $2^m$ + 1 est premier alors m est de la forme $2^n$ avec n entier naturel.

Question indépendante :
L'entier $2^{(2n)}$ + 1 avec n entier naturel est appelé n-ième nombre de Fermat et il est noté Fn.
3.a. Montrer que pour tout entier naturel m $6^m$ ≡ 1[5] et en déduire que pour tout entier naturel m non nul on a : 6 ${}^m$ ≡ 6[10].
b. Vérifier que $2^4$ ≡ 6[10] puis démontrer que pour tout entier naturel n , n≥2 que $2^{(2n)}$ ≡ 6[10].
c. Quel est le chiffre des unités de Fn ?
2.a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul : $56^{(24k)}$≡ 56[100].
b. Vérifier que $2^8$ ≡ 56[100] et en déduire que si n ≡ 3[4], l'écriture décimale de Fn se termine pas 57.

Merci de m'aider à résoudre cet exercice que je trouve assez difficile.

[Noemi]

Bonjour,

2.a. Utilise le résultat de la question 1.

[ihab27]

On sait que x+1 divise $x^{2m+1}$, donc il existe un entier naturel k tel que $x^{2m+1}$ = k(x+1) mais après ...