racine n-ième

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo. merci

Partie I :

Soit g définie sur [0;+∞[ par: g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3).

déterminer lim g(x) quand x tend vers +∞.
Montrer que pour tout x de [0;+∞[ : g'(x)= 1/3 * [1/(³√(1+x)² - 1].

Partie II :

Soient f définie sur [0;+∞[ par : f(x)= ³√(1+x) et C sa courbe représentative dans un repère (o;i;j).

Quel est le sens de variations de f ?
Déterminer l’équation de la tangente D à C au point d’abscisse 0.
Étudier les positions relatives de C et D (on pourra utiliser les résultats de la partie I).

partie I

est ce qu'il faut modifier l'écriture de g(x) ?

Salut,

Oui je modifierais l'écriture de g(x) car tu n'as a priori rien dans ton cours sur la fonction racine cubique.

J'utiliserai l'écriture exponentielle : ³√ $a = a$ ^{1/3} $e^{1/3.lna}$

ok. si j'écrit g(x)= $e^{1/3*ln(1+x)}$ - (3+x)/3 c'est correcte ?

Bonjour,

C'est correct.

pour la limite en +∞ on a bien une forme indéterminée, on a +∞ - (+∞) donc ça fait +∞ + (-∞) ?

Oui, c'est une forme indéterminée.
Essaie de factoriser.

je factorise quel terme ?

Mets $x^{1/3)}$ en facteur dans g(x).

je n'arrive pas

g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3).
g(x) = $1+x)^{1/3}$ - 1 - x/3
= $x$ ^{1/3} $1/x+1)^{1/3}$ - 1 - x/3
= $x$ ^{1/3} $1/x+1)^{1/3}$ - $1/3*x^{2/3}$ ) - 1

Puis tu calcules la limite
+∞ * (-∞) = -∞

ok, mais quand j'essaye de développer, je n'arrive pas à trouver la forme initiale de g(x)

J'ai indiqué le détail des calculs.
Quelle étape te pose problème ?

les 2 dernières

si je développe la dernière ligne, $x$ ^{1/3} $em>(1/x)^{1/3}$ + $x$ ^{1/3} $em>1^{1/3}$ - $1 / 3 < / e m > x$ ^{2/3} $em>x^{1/3}$ -1
$x1/x)^{1/3}$ + $x1)^{1/3}$ - $1/3x^{2/3 + 1/3}$ ) - 1
$1^{1/3}$ + $x^{1/3}$ - 1/3x - 1
$1+x)^{1/3}$ - x/3 -1

c'est ok comme ça ?

Non,

$x$ ^{1/3} $1/x+1)^{1/3 }$ n'est pas égal à( $x1/x)^{1/3}$ + $x1)^{1/3}$

mais $x(1/x+1))^{1/3}$

ok.

(1/x + $1)^{1/3}$ → 1 ?

Si x tend vers ∞, oui.

ok, pour la dérivée, c'est mieux de prendre quelle écriture de g(x) ?

g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3)
ou
g(x)= $1+x)^{1/3}$ - 1 - (x/3)

g(x)= $1+x)^{1/3}$ - 1 - (x/3)

g' $x)=1/3(1+x)^{1/3 - 1}$ 1 - 1/3
$1/3(1+x)^{-2/3}$ - 1/3
$1/31/(1+x)^{2/3}$ - 1/3
=1/3*1/³√(1+x)² - 1/3
=1/3[1/³√(1+x)² - 1]

C'est juste.

ok.

partie II:

g(x)= ³√(1+x) g' $x)=1/3*(1+x)^{-2/3}$

comment je fais pour déterminer le signe de g'(x) ?

g' $x)=1/3*(1+x)^{-2/3}$
= 1/3 * 1/³V(1+x)²

donc .....

1/³V(1+x)² <1 donc g'(x) décroissante

Non,

Tu cherches le signe.
g' $x)=1/3*(1+x)^{-2/3}$
= 1/3 * 1/³V(1+x)²
(1+x)² > 0, donc pour x appartenant à [0;+∞[, g'(x) > 0
donc fonction ....

ok.

équation de D : y=x/3 + 1 ce qui me paraît juste dans la logique

L'équation de la tangente est juste.

ok. donc pour trouver la position entre C et D, on fait ³√(1+x) - 1 - (x/3), après il faut étudier le signe mais je ne sais pas comment faire là.

Utilise les résultats obtenus à la partie I.

pour la question 2) de la partie I je n'avais pas dit quel était le signe de g et son sens de variations.

comme 1/³√(1+x)²≤1 => g'(x)<0 donc g décroissante sur [0;+∞[ et comment je trouve le signe de g ?

Exact,

Mais tu as calculé la dérivée,
Montre que pour x ≥0, g'(x) < 0 donc fonction décroissante
e t comme g(0) = 0,
g(x) ......

le fait fait que g(0)=0 signifie que g négative ??

Tu as g(0) = 0 et la limite en +∞ est -∞
la fonction étant décroissante, f(x) varie de 0 à -∞; donc g(x) ≤ 0 pour x ≥ 0

ok, donc pour le signe de g'(x) et si j'écris:

pour tout x≥0, (x+1)²≥1, √(x+1)²≥1, ³√(x+1)²≥1, 1/³√(x+1)²≤1 donc g'(x)≤0 => g décroissante
est ce que c'est correcte?

après pour le signe de g j'écris ce que tu m'as dit dans ton dernier post

C'est correct.

je reviens question 3) partie II :

on peut remarquer déja que D est croissante sur [0;+∞[ donc qu'elle est au dessus de g ?

A la question 3, tu compares D et f et non D et g.

ah oui. on a vu que g(x)≤0 donc D est au dessus de C

C'est correct.

ok. merci Noemi