Démontrer droites parallèles / perpendiculaires dans un parallélépipède

bonjour, j'aurais besoin d'un coup de main pour cet exo. merci.

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. L'espace est rapporté au repère (A,AB,AD,AE) (en vecteur).

1)Donner une représentation paramétrique de la droite (BI) où I est tel que GI=1/3GH.
2)O est le milieu de [BH]et P le milieu de [BG].
a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite [GO].
b)Déterminer une représentation paramétrique de la droite [HP].
c)Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection S des droites (GO)et (HP). Ce point S est-il sur la droite (BI).

Notons D, la droite (BS).
d)Déterminer une équation paramétrique de D.

3)Déterminer le point M de D tel que (AM) et D soient perpendiculaires.
4)En déduire la distance de A à la droite D.

$fichier math$

je vraiment du mal à commencer, je n'ai jamais trop su ce qu'était une représentation paramètrique

Bonjour,

Cherche les coordonnées des points B et I puis du vecteur BI.

L'équation paramétrique d'une droite qui passe par un point I(xI, yI, ZI) et de vecteur directeur u(a, b, c) s'écrit :
x = xI + ka
y = yI + kb
z = zI + kc

j'ai fati tout les points:

A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)
E(0;0;1)
F(1;0;1)
G(1;1;1)
H(0;1;1)

I(2/3;1;1) et BI(-1/3;1;1)

C'est juste.

Tu peux écrire l'équation paramétrique de la droite (BI).

c'est comme si on place M(x;y;z) sur (BI) et qu'on fait:

BM=k*vect BI ?

C'est cela.

plutot t que k.

x=1-(1/3)t
y=t
z=t

C'est juste.

2)a) je trouve O(1/2;1/2;1/2) et vect GO(-1/2;-1/2;-1/2) ?

C'est juste.

représentation paramétrique de (GO):

x=1-(1/2)t
y=1-(1/2)t
z=1-(1/2)t ??

C'est correct.

ok.

2)b) représentation paramétrique de (HP):

x=t
y=1-(1/2)t
z=1-(1/2)t ??

C'est juste.

ok.

je dois calculer les éqations des 2 droites, mais comment je calcule le coefficient directeur dans l'espace ?

Pour les coordonnées du point d'intersection, tu fais l'égalité des équations paramétriques.

1-(1/2)t=t
1-(1/2)t=1-(1/2)t
1-(1/2)t=1-(1/2)t ???

La première équation te donne la valeur de t.

t=2/3 ?

Oui,

Tu en déduis les coordonnées du point d'intersection.

mais je dois remplacer t dans quelles équations ?

Dans l'équation de la droite.

je remplace dans l'équation paramétrique de (GO) et (HP) ?

De l'une ou l'autre, tu trouveras le même résultat.

S(2/3;2/3;2/3)?

Exact

ok mais un truc que je ne comprend pas, comment ça se fait qu'on peut trouver la valeur de t que dans 1-(1/2)t=t ? enfin; dans les 2 autres égalité on trouve 0

Pour les deux autres équations, tu trouves 0t = 0, soit toute valeur de R est solution.

2)d) représentation paramétrique de (BS):

x=1-(1/3)t
y=2/3t
z=2/3t ?

C'est juste.

2)c) Si S est sur la droite (BI), alors (BI), (HP) et (GO) sont secantes en se même point donc je peux essayer de calculer le point d'intersection entre (BI) et (HP) ou entre (BI) et (GO) et voir si je retrouve S(2/3;2/3;2/3) ?

Oui,

C'est une méthode. Tu peux aussi vérifier si les coordonnées du point S vérifient l'équation de la droite (BI).

oui, c'est se que je voulais faire mais je ne sais pas trop comment faire

Equation paramétrique de la droite (BI)
x=1-(1/3)t
y=t
z=t

Point S : x = y = z = 2/3
implique t = 2/3
or
2/3 différent de 1-(1/3)x2/3)
Donc le point S .....

ok.

je n'ai pas trop d'idée à part le produit scalaire, mais il faut déterminer les coordonnées de M donc je penses que ça n'est pas possible

Si utilise le produit scalaire.

ok mais j'ai essayé de faire quelque chose mais ça ne mène à rien.

Indique les coordonnées des vecteurs BS et AM.
Puis le produit scalaire de ces deux vecteurs.

ça fait : (x-0;y-0;z-0).(-1/3;2/3;2/3)