Démontrer qu'un nombre est imaginaire pur

[Tinay]

salut!
depuis deux jours j'essaie de faire un exo de mon dm et je n'arrive pas je crois qu'il m'échappe quelques propriétés ou je ne sais pas, voici l'exo:

• démontrer que si |z|=|z'|=1 alors le nombre complexe k tel que k=(z+z')/(z-z') est un nombre imaginaire pur.

indications: |z|${}^2$ = z x (conjugué de)z
et un imaginaire pur ssi z=-(conjugué de)z

z=a+ib et z'=a'+ib'
donc k=(a+ib+a'+ib')/(a+ib-a'-ib) = $[a^2$-a'${}^2$-i(ab+a'b-ab'-a'b') + i(ab-a'b+ab'-a'b')-(b-b'${)}^2$ ] / (a-a'${)}^2$ + (b-b'${)}^2$

après j'ai simplifier et j'ai fait la somme de la simplification avec son conjugué , mais je ne sais plus quoi faire

[Noemi]

Bonjour,

Commence par écrire z' - 2, puis tu exprimes le module.

[Tinay]

je l'ai trouvé hier soir mais après je n'ai plus eu internet, je n' ai pas pu modifier le messege T.T
merci de toute manièra :]
maintenant j'ai un autre problème

• démontrer que si |z|=|z'|=1 alors le nombre complexe k tel que k=(z+z')/(z-z') est un nombre imaginaire pur.

indications: |z|${}^2$ = z x (conjugué de)z
et un imaginaire pur ssi z=-(conjugué de)z

z=a+ib et z'=a'+ib'
donc k=(a+ib+a'+ib')/(a+ib-a'-ib) = ?

[Noemi]

Bonjour,

Calcule k + conjugué de k

[Tinay]

je l'ait fait et j'ai obtenu $[2a^2$-2a'$$^2$-2b^2$ -2b'${}^2$+4bb']/[(a-a'${)}^2$+(b+b'${)}^2$]

je pense que j'ai du me tromper dans le calcul car la réponse devrait être 0

[Noemi]

Fais le calcul en utilisant z et z' et leur conjugué.

[Tinay]

c'est à dire de ne pas remplacer z et z' par a,b,a' et b' ?
je n'arrive pas à faire ça

[Noemi]

J'écris z* pour conjugué de z
k + k* = (z+z')/(z-z') + (z*+z')/(z-z'*)
Réduis au même dénominateur.

[Tinay]

OMG!
j'ai trouvé!!!
merci beaucoup!! réellement merci!