Nb Complexes

[Prol]

Bonjour

j'ai un problème pour faire cette exercice:

•déterminer l'ensemble des points M du plan vérifiant :
|(1+i)z+3i| =5

ce que j'ai fait c'est :
|z+iz+3i|=5
j'ai remplacé z= a+ib
|a+ib+ai-b+3i|=5
|a-b+i(b+a+3)|=5
$(a-b)$^2$+(b+a+3{)}^2$ = 25 ... ?
est-ce que je suis dans le bon chemin? :S

[Noemi]

Bonsoir,

Tu peux utiliser cette méthode, mais tu peux aussi essayer de transformer l'équation
|(1+i)z+3i| =5 pour l'écrire sous la forme :
|z- zA| =R

[Prol]

mais alors, qu'est-ce que je fais?
je suis bloquée ici : $(a-b)$^2$+(b+a+3{)}^2$ = 25 ... ?
quel est la antue de l'ensmble des points M? :S

[Noemi]

Développe l'expression et cherche une relation du type (a - n)² + (b - m)² = R².

[Prol]

j'ai dévéloppé : $a$^2$-2ab+b$^2$+a$^2$+2ab+b^2$+6(a+b)+9 = 25

mais alors ce serait (a - b)² + (b - (-a-3))² = R².
n=2
m=-a-3 ?

[Noemi]

a²-2ab+b²+a²+2ab+b²+6(a+b)+9 = 25
2a² + 6a + 2b² + 6b - 16 = 0
a² + 3a + b² + 3b - 8 = 0
(a + 3/2)² -9/4 + (b + 3/2)² - 9/4 - 8 = 0

Je te laisse poursuivre

[Prol]

(a + 3/2)² + (b + 3/2)² = 50/4

donc l'ensemble des points M est un cercle de rayon √(50) / 2 et de centre A (a + 3/2 ; b + 3/2 ) ????

[Noemi]

Le centre a pour coordonnées (-3/2 ; -3/2).

[Prol]

et pourquoi? je crois que j'ai manqué quelquechose
a et b sont partis où ?
(je veux vraiment comprendre T.T)

[Noemi]

a correspond à l'abscisse et b à l'ordonnée.
z = a+ bi

L'équation d'un cercle de centre (n;m)
s'écrit : (a - n)² + (b - m)² = R².

[Prol]

ahhhh
j'ai tout compris!!
ce que moi j'écrivais toujours |a+ib-a'-ib'| = R
mais en fait si je factorise et je fais le module, j'arrive au même
c'est bon j'ai compris !
MERCI!!

[Joie-de-vivre]

Salut à tous les deux !
Voici une deuxième manière de résoudre ce problème
|(1+i)z+3i| =5
⇔ |(1+i)z+3i|/|(1+i)| =5/|(1+i)|
⇔|z+3i/(1+i)| =5/√2
⇔ |z+3i(1-i)/2| =5/√2
⇔ |z- (-3/2 -3i/2)| =5/√2

On en déduit que l'ensemble de points M est un cercle de centre
(-3/2 ; -3i/2) et de rayon 5/√2

Bonne continuation
Joie de vivre