Suites Adjacentes

Bonjour à tous,

J'ai un petit souci avec un exo de maths, le voici :

On a U(0)= 3, U(n+1)= (U(n) + V(n)) / 2
V(0)= 4, V(n+1)= ( U(n+1) + V(n) ) / 2
W(n)= V(n) - U(n) avec W(n)= (1/4) ^ n, lim W(n) = 0 lorsque n tend vers +∞

La question est " Après avoir étudié le sens de variation des suites U(n) et V(n), démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut on en déduire ? "

Etant donné que la limite de V(n) - U(n) tend vers 0, je sais qu'il faut que je montre que l'une des suites est croissante et l'autre décroissante. Le problème, c'est que je ne sais pas trop comment faire, j'ai essayé de combiner ensemble les différentes formules, mais cela ne m'aide pas à étudier le sens de variation des suites.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment procéder ?
Merci d'avance,
E.

Salut emtec,
tu peux par exemple calculer
$U$ _{n+1} $U_n$ = $U_n$ + $V_n$ )/2 - $U_n$
= .....
et normalement tu arrive à quelque chose de positif pour en déduire que $U_n$ est croissante

Ensuite tu feras de la même manière pour $V_n$ pour montrer qu'elle est décroissante.

Bon courage
Joie de vivre

Je calcule U(n+1) - U(n) et je trouve ( (1/4) ^n ) x (1/2), ce qui est positif car 1/2 > 0 et (1/4) ^n > 0 selon les propriétés des racines è-nième.

De meme pour V(n), je trouve V(n+1) - V(n) = ( (1/4) ^ n ) x (-1/4), et selon le même principe que pour U(n), on a V(n) qui est décroissante. C'est bien cela ?

Bonsoir,

C'est correct.

J'ai encore une question sur cet exercice, je pensais y arriver facilement mais je me suis trompé.

Il faut montrer que la suite T(n) est constante, avec T(n) = (U(n) + 2 x V(n)) / 3.
Je calcule T(n+1) - T(n), avec T(n+1) = (U(n+1) + 2 x V(n+1)) / 3 je n'arrive pas à trouver que c'est égal à 0. J'ai remplacé U(n+1) et V(n+1) mais je tombe sur autre chose que 0 à chaque fois.

Quelqu'un aurait-il une méthode ?

Merci d'avance,
E.

Salut emtec !

A mon intuition, une démonstration par récurrence fera l'affaire.
Essaie et tu me diras.

Bon courage
Joie de vivre

Si tu utilises les relations : U(n+1) - U(n) = ( (1/4) ^n ) x (1/2),
et V(n+1) - V(n) = ( (1/4) ^ n ) x (-1/4),
tu trouves T(n+1) - T(n) = 0