Résoudre une équation différentielle
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Ssil2b dernière édition par Hind
(Re)bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci.
On note f(t) le nombre de ménages, vivant en France, équipés d'un ordinateur (t en années, f(t) en millions; on pose t=0 en 1980). on sait que f(0)=0,01 et on estime que, sur la période allant de 1980 à 2015, f est solution de l'équation différentielle : y'=0,022y(20-y) (1).
- résoudre l'équation (1) en posant z=(1/y).
- Vérifier, que l'on a avec une bonne approximation :
f(t)=20/(1+2000e-0,44t.
3)Étudier et représenter graphiquement la fonction f sur [0;35].
4)En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 10 millions ?1)z=1/y => y=1/z => y'=-z'/z²
z'=-0,44z+0,022 les solutions de l'équation sont les fonctions: fff_k$(t)=ke^{-0,44t,/sup>+0,05 2) je remplace t par 0 dans f(t), avec la calculette je trouve 0,0099, d'après l'énoncé, f(0)=0,01 donc l'approximation est bonne. 3) f'(t)=17600e-0,44t/(1+2000e-0,44t)² >0 donc f est croissante sur lintervalle [0;35] et elle croît de 0,01 à 20. pour la courbe, je ne sais pas trop quoi prendre comme unité. }$
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Re Bonsoir,
2° la valeur de k est à déterminer à partir de f(0) = 0,01.
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Ssil2b dernière édition par
comment je dois faire, je ne vois pas
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A partir de
f(t) = 1/(ke−0,44t1/(ke^{-0,44t}1/(ke−0,44t+0,05)
et f(0) = 0,01
calcule k
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Ssil2b dernière édition par
je ne comprend pas ton écriture de f(t). mais ce n'est pas correcte ce que j'ai fait ?
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Bonjour,
Que trouves-tu lors de la résolution de l'équation : z'=-0,44z+0,022 ?
z = .....
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Ssil2b dernière édition par
bonjour, je n'ai pas calculé z.
je suis arrivé à z'=-0,44z+0,022 et j'ai dit que les solutions de l'équation sont les fonctions: fk(t)=ke−0,44tfk(t)=ke^{-0,44t}fk(t)=ke−0,44t+0,05
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La solution proposée correspond à z.
Pour obtenir f, c'est y = 1/z
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Ssil2b dernière édition par
y=1/(ke−0,44ty=1/(ke^{-0,44t}y=1/(ke−0,44t + 0,05)
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Oui,
calcule k à partir de f(0) = 0,01
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Ssil2b dernière édition par
donc je fais 1/(ke−0,44t1/(ke^{-0,44t}1/(ke−0,44t+ 0,05) = 0,01 ?
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avec t = 0
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Ssil2b dernière édition par
donc, 1/(k+0,05)=0,01 comment je fais après
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1/(k+0,05)=0,01
revient à :
k + 0,05 = 1/0,01 = 100
k = ....
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Ssil2b dernière édition par
k=99,95
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Ssil2b dernière édition par
j'ai remplacé k, on trouve bien 0,01
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C'est correct.
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ok. pour tracer la courbe, je ne sais pas quoi prendre comme unité
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Pour le graphique :
en abscisse : 1 cm pour 2 unités
en ordonnée : 1 cm pour 1 unité
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Ssil2b dernière édition par
ça fait un grand repère quand même. mais je vais essayé de tracer cette courbe
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Pour pouvoir faire une lecture graphique, un repère sur une page est préférable.
Tu peux éventuellement diviser chaque unité par 2.
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Ssil2b dernière édition par
abscisse; 1 cm =2,5
ordonnée; 1cm=1c'est bon aussi ?
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Oui, c'est correct.
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Ssil2b dernière édition par
j'ai tracé la courbe, ça fait un "s allongé"
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c'est en 1997 que le nombres de ménages équipés atteint 10 millions ?
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Ce serait pas en 1998 ?
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Ssil2b dernière édition par
mais on peut le vérifier en faisant un calcul
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Oui, tu peux calculer avec la fonction.
Combien as tu trouvé pour t ?
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Ssil2b dernière édition par
justement je suis bloqué.
je dois bien faire 20/(1+2000e−0,44t20/(1+2000e^{-0,44t}20/(1+2000e−0,44t)=10 ?
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Comment as-tu trouvé 1997 ?
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Ssil2b dernière édition par
avec la courbe
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Tu as trouvé t = ...
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Ssil2b dernière édition par
t=17
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Pour t = 17, tu es en dessous de 10 ?
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Ssil2b dernière édition par
je penses que c'est plutot 17,5. j'ai mal tracé sur ma courbe
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Ssil2b dernière édition par
d'après la calculette, t doit être compris entre 17,2 et 17,3
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Exact, donc pour t > 17
donc au cours de l'année 1997, soit en 1998.
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Ssil2b dernière édition par
ok, merci. j'ai commencé un autre exo