Nb complexes

Bonjour, je ne sais pas comment commencer cet exo ><

Soient A et A' les points affixes respectives de 1 et -1
Soit Mo le point d'affixe zo=1+i
On pose pour tout nombre complexe z non nul:

f(z)=1/2(z+1/z)

a)déterminer l'ensemble E des nombres complexes z tels que: f(z)=z
b)montrer que si |z|=1 alors f(z) est un nombre réel.
c)montrer que si le point M, d'affixe z, appartient au cercle de centre O et de rayon 1, alors le point M', d'affixe z', appartient au segment [AA'].

a)
soit z=a+ib
f(z)=z
f(z)-z=0
1/2((a+ib)+1/(a+ib))-a-ib = 0

j'ai l'impression que je n'aurais pas dû remplacer z par a+ib car j'ai dévéloppé et tout et j'ai obtenu des $a^3$

après j'ai essayé ceci:
|f(z)|=|z|
|1/2(z+1/z)|$$^2$=a $^2$ +b^2$

je ne sais pas si je dois continuer ou si c'est possible de faire plus rapide avec une autre méthode.

Salut,

a)En effet l'équation $12(z+1z)=z\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})=z$ se résout très facilement sans remplacer z par sa forme algébrique.

Tu peux commencer par multiplier chaque membre de l'équation par 2 pour te débarrasser de la fraction $12\frac{1}{2}$ . Ensuite isoler $1z\frac{1}{z}$ d'un côté pour faire un produit en croix. (Ou sinon tout mettre au même dénominateur).

b)A priori cette question n'a pas de rapport avec la précédente !
Tu connais la forme exponentielle ? Si |z|=1 alors tu peux remplacer z par $1e^{iθ}$ et calculer f(z). (Pense aux formules d'Euler !).

c) Ce résultat découle de la question précédente.

Qu'arrives-tu à faire ?

a) z+1/z=2z
1/z=z
$z^2$ =1
z=1
donce l'ensemble E est la droite des réels? ou le point (1;0)?

b) non je ne connais pas la forme exponentielle
par contre j'ai pensé à utiliser ceci
f(z) est réel ssi:
arg(f(z))=0

Bonjour,

z² = 1 équivalent à (z-1)(z+1) = 0
soit z = ....
b) Réduis f(z) au même dénominateur et multiplie par le conjugué de z.

a) d'accord, (z-1)(z+1) = 0
z=?
l'ensemble E est un cercle de rayon1 et de centre O?

b)oh j'ai trouvé f(z)=a :]

c)comment faire?

(z-1)(z+1) = 0
donne z-1 = 0, soit z = ...
ou z+1 = 0, soit z = ...

c) découle de b)

a) ohhhh
z=1
z=-1
alors ce sont deux points? A et A'?

c) je crois que je ne comprends pas l'énoncé
ça veut dire que :
montrer que si |z-(1+i)|=1 (le point MMo ? ) alors le point M', d'affixe z', appartient au segment [AA']?
mais je ne vois pas la relation avec b)

oui

a) Les points A et A'

c) Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1, donc |z|=1
or si |z|=1 f(z) = a, donc a varie de ......à .....
conclusion
....

c)ahhhhhhhhh
varie de -1 à 1
donc le point M' d'affixe z' appartient au segment [AA']
ah d'accord! j'ai tout compris!!

merci :]