La Suite Un est-elle convergente ?

Bonjour, j'ai un exercice de mathématiques sur une suite convergente où je dois prendre toutes les initiatives, or je ne sais pas trop par où commencer, voici l'énoncé :

" La suite (Un), définie pour tout entier naturel non nul n, par Un = $n(e^{(1/n)}$ - 1) est-elle convergente ? "

Dois-je regarder si elle est croissante ou décroissante, en étudiant la dérivée de la fonction Un = f(n) ? Puis regarder si elle est minorée ou majorée selon qu'elle soit croissante ou décroissante ? Et si oui, comment dois-je m'y prendre ?

Merci d'avance pour vos conseils.

Bonsoir,

Tu peux étudier les variations de la fonction.

Je trouve $(\frac{1}{x}) \frac{exp (\frac{1}{x}) (x-1) - x}{x exp (\frac{1}{x})}$
Mais comment étudier le signe de $(\frac{1}{x}) (x-1) - x$ ?

La dérivée est fausse.
La dérivée de $e^{1/x}$ est égale à -1/x² $e^{1/x}$

Oui c'est ce que j'ai fait :
f'(x) = $e^{1/x}$ - 1 + x(-1/x² $e^{(1/x)}$ )
= $e^{1/x}$ - 1 - $1/x)(e^{1/x}$ )
= $e^{1/x}$ ( 1 - (1/x) - $1/e^{1/x}$ )
Puis j'ai mis sur le même dénominateur

Où est mon erreur ?

Merci pour votre aide

f'(x) = $e^{1/x}$ - 1 + x(-1/x² $e(^{1/x}$ ))
= $e^{1/x}$ - 1 - $1/x)(e^{1/x}$ )
= $e^{1/x}$ ( 1 - (1/x)) - 1

D'accord merci !
Je dois quand même continuer à factoriser pour trouver le signe de la dérivée non ?

Etudie le signe de f'(x) en calculant la dérivée f"(x).

f"(x) = (-1/x² $e^{(1/x)}$ )(1-(1/x)) + $e^{(1/x)}$ )(1/x²)
= (1/x² $e^{(1/x)}$ )(-1 + (1/x) +1)
= (1/x³) $e^{(1/x)}$ )
Donc je trouve que f(x) est croissante sur ]0;+∞[

C'est f'(x) qui est croissante sur ]0 ; +∞[,
calcule les limites de f'(x) en 0 et + ∞ pour montrer que f'(x)<0

Et est-ce que cela ne pourrait pas prouver la convergence de la suite ?

Un = n(e^(1/n) - 1) = (e^(1/n) - 1) / (1/n)

En posant x = 1/n
la limite de 1/n quand n tend vers +infini donne 0
la limite de (e^(x) - 1) / (x) quand n tend vers 0 donne 1
la limite de (e^(1/n) - 1) / (1/n) quand n tend vers +infini donne donc 1

Donc la suite Un converge car sa limite est un nombre fini ?

Merci pour votre aide

C'est correct.

Je n'ai pas besoin de rajouter autre chose pour prouver la convergence, seule la limite suffit ?

Merci beaucoup pour votre aide, je pense avoir compris pour les variations de f(x), après rectification, f(x) est décroissante, et j'ai prouvé qu'elle était minorée par 1.
Me voilà avec deux solutions

Encore merci pour votre aide, bonne soirée à vous.

Oui, la limite suffit.

Bonne soirée.