Simplifier une expression avec des racines en utilisant les identités remarquables

[Hanais]

Salut tout le monde .
J'ai cet exercice à rendre pour demain . Veuillez m'aider svp le plus rapidement !

Sans utiliser votre calculatrice pouvez vous calculer la valeur exacte du produit demandé ci dessous .

P= (1+√2+√3+√5) × (1-√2+√3+√5) × (1+√2-√3+√5) × (1+√2+√3-√5) × (1-√2-√3+√5) × (1-√2+√3-√5) × (1+√2-√3-√5) × (1-√2-√3-√5)

Voila! Merci d'avance

[Noemi]

Bonjour,

Commence par calculer : (1+√2+√3+√5) × (1+√2-√3-√5)

[Hanais]

D'accord .
A la calculette j'ai trouvée : -8.8 Puis calcul de tête -55

Je suis vraiment perdue

[Noemi]

Indique tes calculs.

Indique le résultat pour le produit que j'ai noté.

[Hanais]

En fait je ne vois pas comment faire ( surtout que je ne suis pas très forte ) car √2 est environ 1.41 mais comme on ne doit pas utiliser la calculatrice je ne sais pas du tout.

[Noemi]

Tu groupes par 2 et tu développes en utilisant les identités remarquables
(1+√2+√3+√5) × (1+√2-√3-√5) =
(1+√2)² - (√3+√5)² =
1+2√2+2 -(3+2√15)+5) =
3 + 2√2 - 8 - 2√15
= -5 + 2√2 - 2√15

Applique le même raisonnement avec :
(1-√2+√3+√5) × (1-√2-√3-√5)

[Hanais]

Ahhhh ! D'accord j'ai compris !
Merci !

[Hanais]

Donc il faut tous les faire ?

[Hanais]

Pour la deuxième j'ai trouvée : 10+2√2-2√15

[Noemi]

Des erreurs de signes, vérifie ton calcul.

Puis calcule les autres produits.

[Hanais]

Je les ai refait, ils ont tous quasiment la même réponse .
C'est cela ?

[Noemi]

Non,

Indique tes calculs.

[Hanais]

Exemple : (1+√2+√3+√5) × (1-√2-√3+√5)
(1+√2)² + (√3-√5)²
1+2√2+2+(3-2√15)-5)
3+2√2-8-2√5
-5+2√2-2√15

Cela commence vraiment à m'énervé de faire 3000 fois les mêmes calculs . En sachant que c'est pour demain & je n'ai pas que ce dm à faire ><

[Noemi]

Ton calcul est faux : (1+√2+√3+√5) × (1-√2-√3+√5) n'est pas égal à
(1+√2)² + (√3-√5)²

Calcule : (1-√2+√3+√5) × (1-√2-√3-√5) qui peut s'écrire :
[(1-√2)+(√3+√5)] × [(1-√2)-(√3+√5)] =
....

[Hanais]

Je comprends rien

[Hanais]

Faudrait savoir moi je comprends PLUS RIEN .
Plus haut faut faire dans la même démarche et maintenant celle ci

[Noemi]

En fait, tu n'as pas compris le premier exemple, le choix des expressions à utiliser ne se fait pas au hasard.

(1-√2+√3+√5) × (1-√2-√3-√5)
[(1-√2)+(√3+√5)] × [(1-√2)-(√3+√5)] =
(1-√2)² -(√3+√5)²

[Hanais]

Ah ouais et comment je peux savoir lesquelles vont avc lesquelles ? --

[Noemi]

Les deux derniers nombres ont un signe différent.
Exemple :
(1+√2-√3+√5) × (1+√2+√3-√5)

[Hanais]

Oui mais pour faire 2 autres developpement il n'y aura qu'une paire qu'aura deux signes différents

[Noemi]

Tu as quatre paires :
(1+√2+√3+√5) × (1+√2-√3-√5)
(1-√2+√3+√5) × (1-√2-√3-√5)
(1+√2-√3+√5) × (1+√2+√3-√5)
(1-√2-√3+√5) × (1-√2+√3-√5)

[Hanais]

(1+√2-√3+√5) × (1+√2+√3-√5)
J'ai trouvée 5 +2√2+2√15

Et la dernière : 3-2√2-2√15

[Noemi]

Une erreur de signe:
(1+√2-√3+√5) × (1+√2+√3-√5)
= -5 +2√2+2√15

L'autre est fausse, vérifie tes calculs

[Hanais]

Je ne trouve pas la dernière réponse :mad:

[Noemi]

Laquelle :
celle la ?
(1-√2-√3+√5) × (1-√2+√3-√5)
= (1-√2)² - (-√3+√5)²
= ....