Etude de signe et variation d'une fonction polynome

[nassi]

Je fais un exercie sur les fonctions ét dérivé et la je doute sur la qualité de mes réponses
Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = $x^4$ -2x³ + 2x² - 2x +3

1)Calculer f'(x)
f'(x) = 4x³ -6x² + 4x - 2

2)On appelle dérivée seconde de la fonction f, et on note f'', la dérivée de la fonction f'
f''(x) = 12x² -12x +4

3)Etudier le signe de f''(x)
Delta = b² - 4ac
Delta = 12² - 4124
Delta = 144 - 192
Delta = -48

Donc f''(x) est positif sur R

4)En déduire le sens de variation de f'
Par conséquent f'(x) est croissant sur R

5)En remarquant que f'(1) = 0, étudier le signe de f'(x)
La je bloque

6)En déduire que pour tout réel x , f(x)>0
La aussi je bloque

Si vous pouviez me montrer mes éventuelles erreurs et m'aider à résoudre la fin de mon exercice

Merci d'avance

[Noemi]

Bonjour (Marque de politesse à ne pas oublier)

Le début est juste.

5. La fonction f' est croissante et f'(1)= 0
   donc si x <1, f'(x) est positif ou négatif ?
   et si x > 1 ......

[nassi]

Bonsoir

5)La fonction f' est croissante et f'(1) = 0
donc si x< 1 , f'(x) est négatif
et si x> 1 , f'(x) est positif

6)Donc pour les variations de f(x), on les déduits du signe de f'(x)
quand x<1 : f(x) est décroissant
quand x>1 : f(x) croissant
Maintenant, on peut chercher f(1) et on trouve f(1) = 2
Ceci signifie donc que au minimum la fonction f vaut 2
Par conséquent cela signifie que la courbe f ne passe jamais dans les negatif et que donc f(x)>0

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

[Noemi]

C'est correct.