Etudier les variations de suites

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les suites.

J'y arrive, je sais comment faire pour faire cet exerccie, j'ai d'ailleur utilisé la méthode de Cauchy.
Mais je suis arrivé à un moment où je n'arrive pas à simplifier mon écriture pour étudier mes variations. Et cela m'arrive 3 fois dans l'exercice (les questions sont les mêmes mais indépendantes pour chaque suite).

Voici l'énoncé:

Etudier les variations des suites suivantes :

**1)**Un = 3^n + 1
On utilise la méthode de Cauchy :
Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
= 3^n+1 + 1 - 3^n -1
= 3^n+1 - 3^n
= 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1
= 3^n (3-1)

Mais là je suis bloquée... Est-ce encore possible de simplifier l'écriture ?

**2)**Vn = (0.3)^n × n
Méthode de Cauchy :
Vn+1 - Vn = (0.3^n+1 × n+1) - (0.3^n × n)
= (0.3^n × 0.3^1 × n+1) - (0.3^n × n)
= 0.3^n × 0.3 × n+1) - 0.3^n × n
= 0.3 × (n+1) × n

Est-ce qu'il est possible de simplifier . Est-ce que je peux barrer (enlever) les "0.3^n" et ensuite factoriser par n ?

**3)**Wn = 0.3^n + 1
Méthode de Cauchy :
Wn+1 - Wn = (0.3^n+1 +1 ) - (0.3^n + 1 )
= 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
= 0.3^n+1 - 0.3^n
= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n

Et là est-ce que je peux dire que c'est égal à 0.3^1 soit 0.3 car les 0.3^n s'en vont (s'annulent) ?

Merci beaucoup de votre aide. :rolling_eyes:

Bonjour,

dans tous les cas, mets en facteur : 3^n ou (0,3)^n

Pour le premier 3^n (3-1) = 3^n× 2

Merci de votre aide !!

Un = 3^n + 1
On utilise la méthode de Cauchy :
Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
= 3^n+1 + 1 - 3^n -1
= 3^n+1 - 3^n
= 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1
= 3^n (3-1)
= 3^n × 2

Je ne saisi pas comment est-ce que l'on passe à ce résultat : quelle est l'étape intermédiaire ?

Vn = (0.3)^n × n
Méthode de Cauchy :
Vn+1 - Vn = (0.3^n+1 × n+1) - (0.3^n × n)
= (0.3^n × 0.3^1 × n+1) - (0.3^n × n)
= 0.3^n × 0.3 × n+1) - 0.3^n × n
= 0.3 × (n+1) × n
= 0.3n × (n+1) ?
Et je développe ?
Wn = 0.3^n + 1
Méthode de Cauchy :
Wn+1 - Wn = (0.3^n+1 +1 ) - (0.3^n + 1 )
= 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
= 0.3^n+1 - 0.3^n
= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n

Le 0.3^n peut-il s'annuler ?

Titboudchou15
Merci de votre aide !!

Un = 3^n + 1
On utilise la méthode de Cauchy :
Un+1 - Un = (3^n+1 + 1) - (3^n +1)
= 3^n+1 + 1 - 3^n -1
= 3^n+1 - 3^n
= 3^n × 3^1 - 3^n × 3^1

Erreur
= 3^n+1 - 3^n
= 3^n × 3^1 - 3^n × 1
= 3^n (3-1) et 3 - 1 = 2 donc
= 3^n × 2

Titboudchou15

Vn = (0.3)^n × n
Méthode de Cauchy :
Vn+1 - Vn = (0.3)^n+1 ×( n+1) - (0.3)^n × n
= (0.3)^n × 0.3^1 ×( n+1) - (0.3)^n × n

=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
= (0,3)^n ( ........)

Titboudchou15

Wn = 0.3^n + 1
Méthode de Cauchy :
Wn+1 - Wn = (0.3)^n+1 +1 - ((0.3)^n + 1 )
= 0.3^n+1 +1 -0.3^n -1
= 0.3^n+1 - 0.3^n
= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1

= 0,3^n ( .....)

D'accord, j'ai compris pour le 1). Merci, je vais ensuite étudier les variations.

= (0.3)^n × 0.3^1 ×( n+1) - (0.3)^n × n
On développe :
= (0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^1 - (0.3)^n × n
= (0.3)^n × (0.3n + 0.3 - 0.3^n² ) ??
Je n'arrive pas à simplifier, je ne m'en sort pas avec ces 0.3... Comment etes-vous passé à :
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
= 0,3^n ( 0.3 + 1) ?

Etude de variations de (Un) :
on sait que Un+1 - Un = $^{n+1} \times 2$
Or n ∈ N donc n≥0 donc 3^n ≥ 0
donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N (tableau de signes ?)

[(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
car A(n+1) = A×n + A×1
ensuite tu as trois termes, tu mets (0,3)^n en facteur

= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
= 0,3^n ( 0.3 + 1) non
c'est (0,3)^n (0,3 - 1) et (0,3 - 1) = .....
=

Les variations pour la première suite sont justes.

Noemi
[(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n

Je ne comprens pas ce qui est en gras. Commenta-t'on ce n ?

Noemi

= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
= 0,3^n ( 0.3 + 1) non
c'est et (0,3 - 1) = .....
=

Donc : = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
=(0,3)^n (0,3 - 1)
et (0,3 - 1) = -0.7
donc :
=(0,3)^n × (-0.7)

[(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n

je reprends la forme initiale
(0.3)^(n+1) ×( n+1) - (0.3)^n × n
= (0,3)^(n+1) × n + (0,3)^(n+1)x 1 - (0.3)^n × n
= ...

Titboudchou15
Noemi

= 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
= 0,3^n ( 0.3 + 1) non
c'est et (0,3 - 1) = .....
=

Donc : = 0.3^n × 0.3 - 0.3^n×1
=(0,3)^n (0,3 - 1)
et (0,3 - 1) = -0.7
donc :
=(0,3)^n × (-0.7)

C'est juste.

Noemi
[(0.3)^n × 0.3^1] ×( n+1) - (0.3)^n × n
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
car A(n+1) = A×n + A×1
ensuite tu as trois termes, tu mets (0,3)^n en facteur

Donc, je dois faire :
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
= 0.3^n × 0.3 × n +(0.3)^n × 0.3 - (0.3)^n × n
=0.3^n (0.3n + 0.3 - n)

C'est ça ?

C'est correct, simplifie la parenthèse.

Pour la 3), j'étudie les variations de (Wn) :

On sait que Un+1 - Un = (0,3)^n × (-0.7)

Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7) < 0.
donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
Est-il nécessaire de faire un tableau de signes pour justifier ou pas ?

Citation
Donc, je dois faire :
=(0.3)^n × 0.3^1 × n +(0.3)^n × 0.3^1 - (0.3)^n × n
= 0.3^n × 0.3 × n +(0.3)^n × 0.3 - (0.3)^n × n
=0.3^n (0.3n + 0.3 - n)

Donc en simplifiant on a :

= 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
= 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
= 0.3^n (-0.7n + 0.3)

Peut-on développer ? On aurait :
=0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
= 0.09^n² + 0.09n - 0.3n² ??

Il n'est pas nécessaire de faire un tableau de signes, tes explications sont suffisantes.

Pour le dernier (le 2) ne développe pas, étudie le signe du terme entre parenthèse.
Eventuellement pour celui-ci tu peux faire un tableau de signes.

Donc en simplifiant on a :

= 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
= 0.3^n (0.3n + 0.3 - n)
= 0.3^n (-0.7n + 0.3)

On étudie les variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7n) < 0. Donc (-0.7n +0.3) < 0.
donc : Un+1 - Un < 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .
je ferais donc un tableau pour montrer que le signe reste négatif.

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

Or n ∈ N donc n≥0 donc (0.3)^n ≥ 0 mais (-0.7n) < 0.
Donc (-0.7n +0.3) < 0. faux et si n = 0 ??

Dans ce cas il faudrait mettre : (-0.7n +0.3) ≤ 0, non ?

Si n= 0, (-0.7n +0.3) > 0
si n ≥1, (-0.7n +0.3) ≤ 0

Mais alors comment le justifier ?
Cela veut dire que 0 est une valeur interdite ? Je dois faire un tableau de signe avec 0 comme valeur interdite ?

Non, pas de valeur interdite, tu indiques que la suite est décroissante à partir de n = 1.

Ah d'accord je dis : On étudie les variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

Or n ∈ N donc n=0 donc (0.3)^n = 0 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) > 0.
donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est décoissante sur N .

Pareil pour n ≥1, (-0.7n +0.3) ≤ 0 ?
Comment le démontrer que c'est à partir de 1 ? Parce que je n'ai pas le droit non de le montrer avec un exemple ?

Titboudchou15
On étudie les variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

Or n ∈ N donc n=0 donc (0.3)^n = 0 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) > 0.

Attention :
Si n = 0; (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. et (-0.7n +0.3) = 0,3
donc : V1 - V0 > 0.

pour n ≥1, (0.3)^n >0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ 0 ?
donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

Ah d'accord. Mais pour le tableau de signe, je mets 1 alors ?

Tu ne fais pas de tableau de signes.

Je reprend du début. On étudie les variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
Donc : Un+1 - Un > 0 pour tout n de N donc la suite (Un) est croissante sur N .

Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ 0 .
Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?

Noemi
Tu ne fais pas de tableau de signes.

D'accord, j'hésitais.

On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
une erreur
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n =0 donc la suite V0,V1 est croissante.
V0 = 0 et V1 = 0,3

ensuite V2, V3 ,.... Vn sont < V1

Pourquoi V2, V3 ,.... Vn sont < V1 ?

Tu as démontré que la suite était décroissante à partir de V1 donc tous les termes qui suivent sont plus petit que V1.

Si on reprend du début, on a, comme étude de variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ -0.4 ??
Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?

Ah oui, c'est vrai, désolée. Je m'embrouille là où il n'y a aucun problème finalement...

Titboudchou15
Si on reprend du début, on a, comme étude de variations de (Vn) :

On sait que Vn+1 - Vn = (0,3)^n (-0.7n + 0.3)

On sait que n ∈ N donc si n=0 alors (0.3)^n = 1 et (-0.7n) = 0. Donc (-0.7n +0.3) = 0,3. Donc : V1 - V0 > 0.
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

Or, si n ≥1, alors (0.3)^n>0 et (-0.7n) <-0,7. et (-0.7n +0.3) ≤ -0.4 ??
Donc : Vn+1 - Vn < 0 donc la suite (Vn) est décroissante pour n ≥ 1.

Pourquoi est-ce qu'on parle de V1 et V0 ? Parce qu'on remplace par 1 et 0 c'est ça ? Mais on fait la même chose ensuite, pourquoi est-qu'on conclue Vn+1 - Vn < 0 ?

Seule cette phrase pose problème,
Donc : Vn+1 - Vn > 0 pour tout n de N donc la suite (Vn) est croissante sur N pur tout n=0.

Tu ne peux pas écrire pour tout n de N car la relation est vérifiée que pour n = 0.